Determine a área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular, sendo 4 dm o lado da base menor e sabendo que uma aresta lateral forma um ângulo de 60^{\circ} com um lado da base maior, dado o apótema do tronco igual a 1 dm .

Passo 1

Vamos entender exatamente o que o enunciado pede e o que nos dá. Pedem a área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular. As informações fornecidas são:
  • o lado da base menor vale 4 dm;
  • uma aresta lateral forma um ângulo de 60^\circ com um lado da base maior;
  • o apótema do tronco (slant height dos faces laterais) é 1 dm.
Ou seja, conhecidos:
b=4\\ (\text{lado da base menor}),\qquad \theta=60^\circ,\qquad l=1\\ (\text{apótema / slant height}).ó
O que precisamos encontrar: a área lateral do tronco (a soma das áreas das três faces laterais).

Passo 2

Primeiro, algumas ideias geométricas úteis (devagar, sem pular etapa):
  • Como a pirâmide é regular e é triangular, as duas bases do tronco são triângulos equiláteros e são homotéticos (um é escala do outro). Se chamarmos o lado da base maior de B e definirmos o fator de escala
k=\frac{b}{B},
então 0<k<1 e b=kB.
  • Em qualquer tronco de pirâmide regular o apótema (slant height) l é a mesma para todas as faces laterais. A fórmula prática para a área lateral S_{\text{lat}} do tronco é
S_{\text{lat}}=\frac{P_{\text{maior}}+P_{\text{menor}}}{2}\cdot l,
onde P são os perímetros das bases. Aqui, para triângulos equiláteros P_{\text{maior}}=3B e P_{\text{menor}}=3b. Assim
S_{\text{lat}}=\frac{3B+3b}{2}\,l=\frac{3(B+b)}{2}\,l.
Portanto, para achar S_{\text{lat}} precisamos de B (ou de B+b). Já sabemos b=4 e l=1, então só falta achar B.

Passo 3

Agora vamos usar a condição do ângulo: “uma aresta lateral forma um ângulo de 60^\circ com um lado da base maior”. Vou explicar como traduzir isso em uma equação.
Geometricamente, escolha um vértice A da base maior e o vértice correspondente A' da base menor (são ligados pela aresta lateral). A projeção horizontal de A' sobre o plano da base é o ponto correspondente dentro do triângulo maior, obtido pela homotetia de razão k centrada no centróide G. O vetor horizontal de A para A' tem magnitude
\text{(deslocamento horizontal)}=(1-k)\cdot |A G|.
Para um triângulo equilátero de lado B, a distância do vértice ao centróide é
|AG|=\frac{B}{\sqrt{3}}.
Se chamarmos h a distância entre os planos das bases (altura vertical do tronco), a aresta lateral tem componente horizontal de magnitude (1-k)\frac{B}{\sqrt{3}} e componente vertical h. Logo o comprimento da aresta lateral é
L_{\text{aresta}}=\sqrt{\big((1-k)\tfrac{B}{\sqrt{3}}\big)^2+h^2}.
Agora queremos o ângulo entre essa aresta lateral e um lado da base maior. Escolhendo o lado que sai do vértice A na direção x-horizontal (por conveniência das coordenadas), o cosseno do ângulo entre a aresta lateral e esse lado depende só da projeção horizontal da aresta na direção desse lado. A componente horizontal da aresta na direção do lado vale (1-k)\cdot\frac{B}{2} (detalhe: para o vértice escolhido a componente x do vetor AG é B/2). Portanto
\cos\theta=\frac{(1-k)\dfrac{B}{2}}{\sqrt{\big((1-k)\dfrac{B}{\sqrt{3}}\big)^2+h^2}}.
Como \theta=60^\circ, temos \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}. Então
\frac{1}{2}=\frac{(1-k)\dfrac{B}{2}}{\sqrt{(1-k)^2\dfrac{B^2}{3}+h^2}}.

Passo 4

A equação do passo anterior simplifica-se assim: multiplica ambos os lados por 2 e pela raiz,
\sqrt{(1-k)^2\dfrac{B^2}{3}+h^2}=(1-k)B.
Elevando ao quadrado:
(1-k)^2\dfrac{B^2}{3}+h^2=(1-k)^2B^2.
Isolando h^2:
h^2=(1-k)^2B^2\Big(1-\frac{1}{3}\Big)=(1-k)^2B^2\cdot\frac{2}{3}.
Isso nos dá h^2 em função de B e k.

Passo 5

Agora use a relação com o apótema l. O apótema do tronco (slant height da face lateral, altura do trapézio lateral) mede a distância entre as retas correspondentes às bases ao longo da face lateral. Essa distância é a hipotenusa formada pela componente vertical h e a componente horizontal entre os pontos médios das arestas correspondentes das bases. A distância do ponto médio de um lado ao centróide é \dfrac{B}{2\sqrt{3}}. Logo o deslocamento horizontal entre médios é (1-k)\dfrac{B}{2\sqrt{3}}. Assim:
l^2=h^2+\big((1-k)\tfrac{B}{2\sqrt{3}}\big)^2.
Substitua h^2 encontrado no passo anterior:
l^2=(1-k)^2B^2\cdot\frac{2}{3}+(1-k)^2\frac{B^2}{12}=(1-k)^2B^2\Big(\frac{2}{3}+\frac{1}{12}\Big).
Calcule a soma dos coeficientes:
\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{8}{12}+\frac{1}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.
Portanto
l^2=(1-k)^2B^2\cdot\frac{3}{4}.
Como l=1, obtemos
1=(1-k)^2B^2\cdot\frac{3}{4}\quad\Longrightarrow\quad(1-k)^2B^2=\frac{4}{3}.

Passo 6

Agora escrevemos k=\dfrac{b}{B}=\dfrac{4}{B}. Assim
1-k=1-\frac{4}{B}=\frac{B-4}{B}.
Substituindo em (1-k)^2B^2=\dfrac{4}{3} temos
\left(\frac{B-4}{B}\right)^2B^2=(B-4)^2=\frac{4}{3}.
Como B>4, tomamos a raiz positiva:
B-4=\frac{2}{\sqrt{3}}\quad\Longrightarrow\quad B=4+\frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 7

Finalmente calcule a área lateral usando
S_{\text{lat}}=\frac{3(B+b)}{2}\,l.
Substitua b=4, l=1 e B=4+\dfrac{2}{\sqrt{3}}:
S_{\text{lat}}=\frac{3}{2}\Big(4+\Big(4+\frac{2}{\sqrt{3}}\Big)\Big) =\frac{3}{2}\Big(8+\frac{2}{\sqrt{3}}\Big) = \frac{3}{2}\cdot 8 + \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}.
Calcule termo a termo:
\frac{3}{2}\cdot 8=12,\qquad \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Logo
S_{\text{lat}}=12+\sqrt{3}\\ (\text{dm}^2).

Resposta

12+\sqrt{3}\\ \text{dm}^2

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