Determine a área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular, sendo 4 dm o lado da base menor e sabendo que uma aresta lateral forma um ângulo de
com um lado da base maior, dado o apótema do tronco igual a 1 dm .
Passo 1
Vamos entender exatamente o que o enunciado pede e o que nos dá. Pedem a área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular. As informações fornecidas são:
- o lado da base menor vale
dm; - uma aresta lateral forma um ângulo de
com um lado da base maior; - o apótema do tronco (slant height dos faces laterais) é
dm.
Ou seja, conhecidos:
O que precisamos encontrar: a área lateral do tronco (a soma das áreas das três faces laterais).
Passo 2
Primeiro, algumas ideias geométricas úteis (devagar, sem pular etapa):
- Como a pirâmide é regular e é triangular, as duas bases do tronco são triângulos equiláteros e são homotéticos (um é escala do outro). Se chamarmos o lado da base maior de
e definirmos o fator de escala
então
e
.
- Em qualquer tronco de pirâmide regular o apótema (slant height)
é a mesma para todas as faces laterais. A fórmula prática para a área lateral do tronco é
onde
são os perímetros das bases. Aqui, para triângulos equiláteros
e
. Assim
Portanto, para achar
precisamos de
(ou de
). Já sabemos
e
, então só falta achar
.
Passo 3
Agora vamos usar a condição do ângulo: “uma aresta lateral forma um ângulo de
com um lado da base maior”. Vou explicar como traduzir isso em uma equação.
Geometricamente, escolha um vértice
da base maior e o vértice correspondente
da base menor (são ligados pela aresta lateral). A projeção horizontal de
sobre o plano da base é o ponto correspondente dentro do triângulo maior, obtido pela homotetia de razão
centrada no centróide
. O vetor horizontal de
para
tem magnitude
Para um triângulo equilátero de lado
, a distância do vértice ao centróide é
Se chamarmos
a distância entre os planos das bases (altura vertical do tronco), a aresta lateral tem componente horizontal de magnitude
e componente vertical
. Logo o comprimento da aresta lateral é
Agora queremos o ângulo entre essa aresta lateral e um lado da base maior. Escolhendo o lado que sai do vértice
na direção
-horizontal (por conveniência das coordenadas), o cosseno do ângulo entre a aresta lateral e esse lado depende só da projeção horizontal da aresta na direção desse lado. A componente horizontal da aresta na direção do lado vale
(detalhe: para o vértice escolhido a componente x do vetor
é
). Portanto
Como
, temos
. Então
Passo 4
A equação do passo anterior simplifica-se assim: multiplica ambos os lados por
e pela raiz,
Elevando ao quadrado:
Isolando
:
Isso nos dá
em função de
e
.
Passo 5
Agora use a relação com o apótema
. O apótema do tronco (slant height da face lateral, altura do trapézio lateral) mede a distância entre as retas correspondentes às bases ao longo da face lateral. Essa distância é a hipotenusa formada pela componente vertical
e a componente horizontal entre os pontos médios das arestas correspondentes das bases. A distância do ponto médio de um lado ao centróide é
. Logo o deslocamento horizontal entre médios é
. Assim:
Substitua
encontrado no passo anterior:
Calcule a soma dos coeficientes:
Portanto
Como
, obtemos
Passo 6
Agora escrevemos
. Assim
Substituindo em
temos
Como
, tomamos a raiz positiva:
Passo 7
Finalmente calcule a área lateral usando
Substitua
,
e
:
Calcule termo a termo:
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