Escreva uma equação para reta que passa pelo ponto (
) e um de seus vetores diretores
Passo 1
O enunciado pede: escrever uma equação da reta que passa pelo ponto
e tem um de seus vetores diretores igual a
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
A tarefa é apresentar uma forma válida da equação da reta (podemos dar a forma vetorial/paramétrica e a forma simétrica).
Passo 2
Conceito-chave (do jeitinho que você precisa lembrar na prova): uma reta em
que passa por um ponto
e tem vetor diretor
pode ser escrita na forma vetorial
Aqui:
-
é o vetor posição genérico de qualquer ponto da reta, com coordenadas ; -
é o vetor posição do ponto conhecido da reta (aqui ); -
é o vetor diretor da reta (a direção da reta); -
é o parâmetro real que “anda” pela reta: cada valor de dá um ponto diferente da reta.
Passo 3
Agora substituímos os dados na forma vetorial. O vetor posição do ponto
é
e
. Assim
Desenvolvendo componente a componente obtemos as equações paramétricas (essas são ótimas para calcular pontos da reta):
Expliquei isso devagar: cada coordenada recebe o correspondente da forma
.
Passo 4
Forma simétrica — como se obtém e quando dá para usar: subtraímos as coordenadas do ponto e dividimos pelas componentes do vetor diretor (isso só é válido quando as componentes do vetor diretor são diferentes de zero). Aplicando isso aqui, como todas as componentes de
são não nulas, temos
Podemos simplificar a escrita para
Aviso útil para a prova: se alguma componente do vetor diretor fosse zero (por exemplo
), a fração
não seria válida — nesse caso a coordenada correspondente permanece fixa, por exemplo
.
Passo 5
Cheque rápido para ganhar confiança: com
a paramétrica dá
. Se subtrairmos do ponto inicial
, que é precisamente
. Ou seja, um passo de
ao longo da reta desloca exatamente pelo vetor diretor — sinal que está tudo certo.
Passo 6
Resumo prático para a prova (decorar o procedimento):
- Escreva a forma vetorial
. - Expanda para as paramétricas
, , . - Se quiser, passe para a forma simétrica dividindo por
(cuidado se algum for zero).
Fazendo isso passo a passo você não erra em prova.