Escreva uma equação para reta que passa pelo ponto ( 7,3,4 ) e um de seus vetores diretores \vec{v}=(1,1,3)

Passo 1

O enunciado pede: escrever uma equação da reta que passa pelo ponto (7,3,4) e tem um de seus vetores diretores igual a \vec{v}=(1,1,3).\n
Informações dadas:
\text{ponto } P_0=(7,3,4)
\text{vetor diretor } \vec{v}=(1,1,3)
A tarefa é apresentar uma forma válida da equação da reta (podemos dar a forma vetorial/paramétrica e a forma simétrica).

Passo 2

Conceito-chave (do jeitinho que você precisa lembrar na prova): uma reta em \mathbb{R}^3 que passa por um ponto \mathbf{r}_0 e tem vetor diretor \mathbf{v} pode ser escrita na forma vetorial
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\,\mathbf{v},\qquad t\in\mathbb{R}.
Aqui:
  • \mathbf{r}(t) é o vetor posição genérico de qualquer ponto da reta, com coordenadas (x,y,z);
  • \mathbf{r}_0 é o vetor posição do ponto conhecido da reta (aqui (7,3,4));
  • \mathbf{v} é o vetor diretor da reta (a direção da reta);
  • t é o parâmetro real que “anda” pela reta: cada valor de t dá um ponto diferente da reta.

Passo 3

Agora substituímos os dados na forma vetorial. O vetor posição do ponto P_0 é \mathbf{r}_0=\langle 7,3,4\rangle e \mathbf{v}=\langle 1,1,3\rangle. Assim
\langle x,y,z\rangle=\langle 7,3,4\rangle+t\langle 1,1,3\rangle,\qquad t\in\mathbb{R}.
Desenvolvendo componente a componente obtemos as equações paramétricas (essas são ótimas para calcular pontos da reta):
x=7+t,
y=3+t,
z=4+3t.
Expliquei isso devagar: cada coordenada recebe o correspondente da forma \text{coordenada inicial} + t\cdot(\text{componente do vetor diretor}).

Passo 4

Forma simétrica — como se obtém e quando dá para usar: subtraímos as coordenadas do ponto e dividimos pelas componentes do vetor diretor (isso só é válido quando as componentes do vetor diretor são diferentes de zero). Aplicando isso aqui, como todas as componentes de \vec{v} são não nulas, temos
\frac{x-7}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{3}.
Podemos simplificar a escrita para
x-7=y-3=\frac{z-4}{3}.
Aviso útil para a prova: se alguma componente do vetor diretor fosse zero (por exemplo v_x=0), a fração \frac{x-x_0}{v_x} não seria válida — nesse caso a coordenada correspondente permanece fixa, por exemplo x=x_0.

Passo 5

Cheque rápido para ganhar confiança: com t=1 a paramétrica dá (x,y,z)=(8,4,7). Se subtrairmos do ponto inicial (8,4,7)-(7,3,4)=(1,1,3), que é precisamente \vec{v}. Ou seja, um passo de t=1 ao longo da reta desloca exatamente pelo vetor diretor — sinal que está tudo certo.

Passo 6

Resumo prático para a prova (decorar o procedimento):
  1. Escreva a forma vetorial \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}.
  2. Expanda para as paramétricas x=x_0+tv_x, y=y_0+tv_y, z=z_0+tv_z.
  3. Se quiser, passe para a forma simétrica dividindo por v_x,v_y,v_z (cuidado se algum for zero).
    Fazendo isso passo a passo você não erra em prova.

Resposta

\langle x,y,z\rangle=\langle 7,3,4\rangle+t\langle 1,1,3\rangle,\quad t\in\mathbb{R}
x=7+t,\quad y=3+t,\quad z=4+3t,\quad t\in\mathbb{R}
\frac{x-7}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{3}

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