Determine as áreas por integração dupla em coordenadas polares:
© Área exterior ao círculo
e interior a
.
© Área exterior ao círculo
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica fora do círculo
e dentro da curva
. O conteúdo é integração dupla em coordenadas polares, e vamos precisar achar os valores de
onde essas duas curvas se cruzam, montar a integral em polares e calculá-la.
Passo 2
Para encontrar onde
e
se interceptam, igualamos:
Isso dá
, logo
ou
. Além disso, como queremos pontos onde
, ficamos com
variando de
até
.
Passo 3
Montamos a integral de área em coordenadas polares assim:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Passo 5
Logo a área fica
Passo 6
Para integrar, usamos
, então o integrando vira
. Assim:
Passo 7
Avaliando nos limites: