Determine as áreas por integração dupla em coordenadas polares:
© Área exterior ao círculo r=1 e interior a r=2 sen theta.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica fora do círculo r=1 e dentro da curva r=2sintheta. O conteúdo é integração dupla em coordenadas polares, e vamos precisar achar os valores de theta onde essas duas curvas se cruzam, montar a integral em polares e calculá-la.

Passo 2

Para encontrar onde r=1 e r=2sintheta se interceptam, igualamos: 1=2sinthetaIsso dá sintheta=1/2, logo theta=pi/6 ou theta=5pi/6. Além disso, como queremos pontos onde 2sintheta>=1, ficamos com theta variando de pi/6 até 5pi/6.

Passo 3

Montamos a integral de área em coordenadas polares assim:
A=integraltheta=pi/6^5pi/6integralr=1^2sinthetar,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em r:
integral1^2sinthetar,dr=12l[(2sintheta)^2-1^2r]=2sin^2theta-tfrac12

Passo 5

Logo a área fica
A=integralpi/6^5pi/6l(2sin^2theta-tfrac12r)dtheta

Passo 6

Para integrar, usamos 2sin^2theta=1-cos2theta, então o integrando vira tfrac12-cos2theta. Assim:
A=integralpi/6^5pi/6l(tfrac12-cos2thetar)dtheta=l[tfrac12theta-tfrac12sin2thetar]pi/6^5pi/6

Passo 7

Avaliando nos limites:
l(tfrac12cdottfrac5pi6-tfrac12sintfrac5pi3r)-l(tfrac12cdottfracpi6-tfrac12sintfracpi3r)=pi3+raiz32

Resposta

pi3+raiz32

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