Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=x cosh x em torno de a=0, calcular o raio de convergência e verificar se a série realmente representa a função (isto é, se T₀f=f).
Passo 2
Para isso precisamos lembrar da expansão em série de potências da função hiperbólica coseno:
A definição de cosh x é
A definição de cosh x é
E a sua expansão em Taylor (válida para todo x) é
Aqui o raio de convergência dessa série é infinito.
Passo 3
Agora construímos a série de f(x)=x cosh x multiplicando termo a termo:
Essa é justamente a série de Taylor em torno de 0.
Passo 4
Como a série de cosh tem raio de convergência infinito e a multiplicação por x não altera isso, o raio de convergência da série de f é também R=∞. Além disso, cosh x é função inteira (analítica em todo ℝ), logo a série converge para f(x) em todo ℝ. Portanto vale T₀f=f.