Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=x cosh x em torno de a=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=x cosh x em torno de a=0, calcular o raio de convergência e verificar se a série realmente representa a função (isto é, se T₀f=f).

Passo 2

Para isso precisamos lembrar da expansão em série de potências da função hiperbólica coseno:
A definição de cosh x é
cosh x=e^x+e^-x2
E a sua expansão em Taylor (válida para todo x) é
cosh x=sumn=0^inftyx^2n(2n)!
Aqui o raio de convergência dessa série é infinito.

Passo 3

Agora construímos a série de f(x)=x cosh x multiplicando termo a termo:
f(x)=xcosh x = xsumn=0^inftyx^2n(2n)! = sumn=0^inftyx^2n+1(2n)!
Essa é justamente a série de Taylor em torno de 0.

Passo 4

Como a série de cosh tem raio de convergência infinito e a multiplicação por x não altera isso, o raio de convergência da série de f é também R=∞. Além disso, cosh x é função inteira (analítica em todo ℝ), logo a série converge para f(x) em todo ℝ. Portanto vale T₀f=f.

Resposta

T0f(x)=sumn=0^inftyx^2n+1(2n)!, R=infty, T0f=f

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