Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=sen(2 x+pi4) em torno de a=0.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: A gente quer achar a série de Taylor de f(x)=sinl(2x+tfracpi4r) em torno de a=0, determinar o raio de convergência e decidir se a série realmente representa a função. Isso envolve usar identidades trigonométricas e as séries conhecidas de sin x e cos x.

Passo 2

Aplicar identidade trigonométrica: Usamos sin(u+v)=sin ucos v+cos usin v com u=2x e v=tfracpi4. Como costfracpi4=sintfracpi4=tfracraiz22, temos:
sinl(2x+tfracpi4r)=tfracraiz22,sin(2x)+tfracraiz22,cos(2x)
Expandir sin(2x) como série em torno de zero: Lembrando que sin t=sumn=0^infty(-1)^nt^2n+1(2n+1)!, basta substituir t=2x:
sin(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n+1(2n+1)!
Expandir cos(2x) como série em torno de zero: Como cos t=sumn=0^infty(-1)^nt^2n(2n)!, com t=2x dá:
cos(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)!
Combinar as séries com o fator tfracraiz22:
$$
T_0f(x)=\frac{\sqrt2}{2}\sum_{n=0}\infty(-1)n\frac{(2x){2n+1}}{(2n+1)!}+\frac{\sqrt2}{2}\sum_{n=0}\infty(-1)n\frac{(2x){2n}}{(2n)!}.$$

Passo 3

Determinar o raio de convergência: Ambas as séries de sin e cos têm raio infinito, logo a combinação também converge para todo x. Assim o raio de convergência é R=infty.
Verificar igualdade T0f=f: Como sin e cos são funções inteiras (holomorfas em todo R), a série de Taylor converge para a própria função em qualquer x. Portanto vale T0f(x)=f(x) para todo x.

Resposta

A série de Taylor de f(x)=sin(2x+tfracpi4) em torno de zero é
T0f(x)=raiz22sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)!+raiz22sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n+1(2n+1)!
O raio de convergência é R=infty, e como f é inteira, temos de fato T0f(x)=f(x) para todo x.

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