Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: A gente quer achar a série de Taylor de
em torno de
, determinar o raio de convergência e decidir se a série realmente representa a função. Isso envolve usar identidades trigonométricas e as séries conhecidas de
e
.
Passo 2
Aplicar identidade trigonométrica: Usamos
com
e
. Como
temos:
Expandir
Expandir
como série em torno de zero: Como
, com
dá:
Combinar as séries com o fator
$$
T_0f(x)=\frac{\sqrt2}{2}\sum_{n=0}\infty(-1)n\frac{(2x){2n+1}}{(2n+1)!}+\frac{\sqrt2}{2}\sum_{n=0}\infty(-1)n\frac{(2x){2n}}{(2n)!}.$$
Passo 3
Determinar o raio de convergência: Ambas as séries de
e
têm raio infinito, logo a combinação também converge para todo
. Assim o raio de convergência é
.
Verificar igualdade : Como
e
são funções inteiras (holomorfas em todo
), a série de Taylor converge para a própria função em qualquer
. Portanto vale
para todo
.
Verificar igualdade
Resposta
A série de Taylor de
em torno de zero é
O raio de convergência é
, e como
é inteira, temos de fato
para todo
.