Suponha f não-limitada em [a, b[ e integrável em [a, t] para a. Defina integrala^b f(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para definir a integral imprópria de uma função f que é não-limitada em [a,b[ mas que é integrável em cada intervalo fechado [a,t] com a. Estamos tratando de integral imprópria do tipo 1, em que o problema está na fronteira b.

Passo 2

Para resolver isso, lembramos da ideia básica de integrar até um ponto intermediário e depois passar ao limite. Primeiro, em cada t estritamente menor que b, a integral integrala^t f(x),dx está bem definida, pois f é integrável em [a,t].
A definição da integral imprópria em [a,b[ consiste em tomar o limite dessa integral quando t se aproxima de b pela esquerda. Escrevemos então:
integrala^b f(x),dx = limtto b^- integrala^t f(x),dx,

Passo 3

Para que essa integral imprópria exista (seja convergente), esse limite deve existir e ser um número finito. Caso o limite seja +infty, -infty ou não exista, dizemos que a integral diverge.

Resposta

integrala^b f(x),dx = limtto b^- integrala^t f(x),dx, desde que esse limite exista como número finito; caso contrário, a integral diverge.

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