Suponha f não-limitada em
e integrável em
para
. Defina
.
Passo 1
O enunciado pede para definir a integral imprópria de uma função f que é não-limitada em
mas que é integrável em cada intervalo fechado
com
. Estamos tratando de integral imprópria do tipo 1, em que o problema está na fronteira
.
Passo 2
Para resolver isso, lembramos da ideia básica de integrar até um ponto intermediário e depois passar ao limite. Primeiro, em cada
estritamente menor que
, a integral
está bem definida, pois f é integrável em
.
A definição da integral imprópria em consiste em tomar o limite dessa integral quando
se aproxima de
pela esquerda. Escrevemos então:
A definição da integral imprópria em
Passo 3
Para que essa integral imprópria exista (seja convergente), esse limite deve existir e ser um número finito. Caso o limite seja
,
ou não exista, dizemos que a integral diverge.