Resolva os problemas de valor inicial:
ly^prime+3 t^2 y=e^-t^3+t y(0)=2

Passo 1

Temos uma EDO linear de 1ª ordem com valor inicial dada por y'+3t^2y=e^-t^3+t e y(0)=2. O conteúdo é resolução de EDOs lineares usando fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante usando mu(t)=e^integral 3t^2,dt=e^t^3.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t), ficando e^t^3y'+3t^2e^t^3y=e^t. O lado esquerdo é a derivada de y e^t^3, então integramos:
y e^t^3=integral e^t,dt + C = e^t + C

Passo 4

Isolamos y: y=(e^t+C)e^-t^3. Aplicamos a condição inicial y(0)=2: (1+C)cdot1=2 que dá C=1.

Resposta

A solução é y=(e^t+1)e^-t^3.

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