Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
y^prime=4 x-x^34+y^3, com y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valores iniciais juntos! A gente tem a equação diferencial:
y^prime = 4x - x^34 + y^3, com y(0) = 1
Aqui, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Separable. Vamos precisar separar as variáveis $ x $ e $ y $ para integrar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ de um lado e $ x $ do outro. Multiplicando ambos os lados por $ (4 + y^{3}) $ e $ dx $, temos:
y
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar cada lado individualmente.

Passo 3

Vamos integrar o lado esquerdo em relação a $ y $:
y
Agora, integramos o lado direito em relação a $ x $:
integral (4 + y^3) , dy = integral 4 , dy + integral y^3 , dy = 4y + 14y^4 + C1

Passo 4

Agora, igualamos as duas integrais e juntamos as constantes de integração:
4y + 14y^4 + C1 = 2x^2 - 14x^4 + C2
Podemos simplificar isso combinando as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
C1

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
y(0) = 1
C
x = 0

Passo 6

Substituímos o valor de $ C $ de volta na equação:
C
Podemos simplificar um pouco mais se quiser, mas geralmente deixamos assim para mostrar a relação entre $ x $ e $ y $.

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
4y + 14y^4 = 2x^2 - 14x^4 + 174

Exercícios relacionados