Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valores iniciais juntos! A gente tem a equação diferencial:
Aqui, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Separable. Vamos precisar separar as variáveis $ x $ e $ y $ para integrar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ de um lado e $ x $ do outro. Multiplicando ambos os lados por $ (4 + y^{3}) $ e $ dx $, temos:
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar cada lado individualmente.
Passo 3
Vamos integrar o lado esquerdo em relação a $ y $:
Agora, integramos o lado direito em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, igualamos as duas integrais e juntamos as constantes de integração:
Podemos simplificar isso combinando as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
Passo 6
Substituímos o valor de $ C $ de volta na equação:
Podemos simplificar um pouco mais se quiser, mas geralmente deixamos assim para mostrar a relação entre $ x $ e $ y $.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: