Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é assim: $ y’ - y = t $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, a equação $ y’ - y = t $ já está quase nessa forma. A gente pode reescrever como:
Aqui, $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = t $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Substituindo $ P(t) = -1 $:
Passo 4
Vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante $ e^{-t} $:
Isso simplifica para:
Passo 5
O objetivo de usar o fator integrante é transformar o lado esquerdo da equação em uma derivada de um produto. De fato:
Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:
Passo 7
Precisamos resolver a integral $ \int t e^{-t} , dt $. Usando a técnica de integração por partes, onde $ u = t $ e $ dv = e^{-t} dt $, temos:
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Então, substituindo de volta:
Passo 8
Agora, isolamos $ y $ multiplicando ambos os lados por $ e^{t} $:
Passo 9
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $:
Resposta
A solução do problema é: