Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
y^prime-y=t, com y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é assim: $ y’ - y = t $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
y' + P(t)y = Q(t)
No nosso caso, a equação $ y’ - y = t $ já está quase nessa forma. A gente pode reescrever como:
y' - y = t
Aqui, $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = t $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = -1 $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante $ e^{-t} $:
e^-t
Isso simplifica para:
e^-t y' + e^-t (-1) y = e^-t t

Passo 5

O objetivo de usar o fator integrante é transformar o lado esquerdo da equação em uma derivada de um produto. De fato:
ddt (e^-t y) = e^-t y' - e^-t y
Então, podemos reescrever a equação como:
ddt (e^-t y) = t e^-t

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
t
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:
integral ddt (e^-t y) , dt = integral t e^-t , dt

Passo 7

Precisamos resolver a integral $ \int t e^{-t} , dt $. Usando a técnica de integração por partes, onde $ u = t $ e $ dv = e^{-t} dt $, temos:
integral t e^-t , dt
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
u = t
Então, substituindo de volta:
dv = e^-t dt

Passo 8

Agora, isolamos $ y $ multiplicando ambos os lados por $ e^{t} $:
y
e^t

Passo 9

Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $:
C

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = -t - 1 + 2 e^t

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