Determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
As perguntas que precisamos responder são:
- Determinar o argumento de
. - Escrever
na forma polar. - Representar geometricamente
(descrever a posição no plano complexo).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
Passo 2
Como primeiro passo técnico, vamos calcular o módulo (ou módulo) de
. Regra e explicação didática:
- Se
então o módulo é dado por
Aqui
é a coordenada real (distância no eixo real) e
é a coordenada imaginária (distância no eixo imaginário). Esse valor é a distância do ponto
até a origem no plano.
Aplicando ao nosso número, com
e
:
Portanto o módulo de
é
.
Passo 3
Agora vamos ao argumento. Conceito e método:
- Para
com , uma maneira direta de obter o ângulo (argumento) é usar
ou, quando se sabe o quadrante, usar
e ajustar conforme o quadrante em que
está. A função
já faz esse ajuste automaticamente. O argumento principal normalmente escolhido fica em
.
Identifique o quadrante: aqui
e
, logo o ponto está no primeiro quadrante. Nesse quadrante não há ajuste de sinal: podemos usar
diretamente.
Calcule:
Lembrando valores conhecidos da tangente,
. Portanto
Então o argumento principal de
é
.
Passo 4
Agora escrevemos
na forma polar. Regra e explicação:
- A forma polar (ou trigonométrica) de
é
onde
e
. Há também a forma exponencial de Euler
Substituindo
e
:
Podemos confirmar com valores conhecidos
e
:
o que devolve exatamente a forma cartesiana
. Na forma exponencial:
Passo 5
Representação geométrica (descrição passo a passo e interpretação):
- No plano complexo (plano
com eixo real horizontal e eixo imaginário vertical), o ponto correspondente a tem coordenadas . - A distância do ponto à origem é
(já calculada). - O segmento vetor que vai da origem até
faz um ângulo de (ou ) com o eixo real positivo. - Para desenhar: marque o ponto
, desenhe o vetor da origem até esse ponto, escreva ao lado e . Também pode desenhar o triângulo retângulo formado pelas projeções, com catetos (no eixo real) e (no eixo imaginário).
Passo 6
Dica rápida para a prova (resumindo o procedimento que você deve decorar):
- Identifique
e . - Calcule
. - Use
(ou com ajuste de quadrante) para obter o argumento principal. - Escreva
e, se quiser, .
Força aí — você já tem o passo a passo prontinho pra usar na prova!
Resposta
Representação geométrica: ponto