Determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
z=\sqrt{3}+i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z=\sqrt{3}+i
As perguntas que precisamos responder são:
  • Determinar o argumento de z.
  • Escrever z na forma polar.
  • Representar geometricamente z (descrever a posição no plano complexo).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Parte real: \Re(z)=\sqrt{3}.
  • Parte imaginária: \Im(z)=1.

Passo 2

Como primeiro passo técnico, vamos calcular o módulo (ou módulo) de z. Regra e explicação didática:
  • Se z=x+iy então o módulo é dado por
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x é a coordenada real (distância no eixo real) e y é a coordenada imaginária (distância no eixo imaginário). Esse valor é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano.
Aplicando ao nosso número, com x=\sqrt{3} e y=1:
r=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
Portanto o módulo de z é \,2.

Passo 3

Agora vamos ao argumento. Conceito e método:
  • Para z=x+iy com x\neq 0, uma maneira direta de obter o ângulo \theta (argumento) é usar
\theta=\operatorname{atan2}(y,x),
ou, quando se sabe o quadrante, usar
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)
e ajustar conforme o quadrante em que z está. A função \operatorname{atan2} já faz esse ajuste automaticamente. O argumento principal normalmente escolhido fica em (-\pi,\pi].
Identifique o quadrante: aqui x=\sqrt{3}>0 e y=1>0, logo o ponto está no primeiro quadrante. Nesse quadrante não há ajuste de sinal: podemos usar \arctan(y/x) diretamente.
Calcule:
\theta=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Lembrando valores conhecidos da tangente, \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Portanto
\theta=\frac{\pi}{6}.
Então o argumento principal de z é \dfrac{\pi}{6}.

Passo 4

Agora escrevemos z na forma polar. Regra e explicação:
  • A forma polar (ou trigonométrica) de z é
z=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr),
onde r=|z| e \theta=\arg(z). Há também a forma exponencial de Euler
z=r e^{i\theta}.
Substituindo r=2 e \theta=\dfrac{\pi}{6}:
z=2\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{6}+i\sin\!\tfrac{\pi}{6}\bigr).
Podemos confirmar com valores conhecidos \cos\!\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\!\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}:
2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},\qquad 2\cdot\frac{1}{2}=1,
o que devolve exatamente a forma cartesiana \sqrt{3}+i. Na forma exponencial:
z=2e^{i\pi/6}.

Passo 5

Representação geométrica (descrição passo a passo e interpretação):
  • No plano complexo (plano xy com eixo real horizontal e eixo imaginário vertical), o ponto correspondente a z tem coordenadas (\sqrt{3},1).
  • A distância do ponto à origem é 2 (já calculada).
  • O segmento vetor que vai da origem até (\sqrt{3},1) faz um ângulo de \dfrac{\pi}{6} (ou 30^\circ) com o eixo real positivo.
  • Para desenhar: marque o ponto (\sqrt{3},1), desenhe o vetor da origem até esse ponto, escreva ao lado r=2 e \theta=\tfrac{\pi}{6}. Também pode desenhar o triângulo retângulo formado pelas projeções, com catetos \sqrt{3} (no eixo real) e 1 (no eixo imaginário).

Passo 6

Dica rápida para a prova (resumindo o procedimento que você deve decorar):
  1. Identifique x=\Re(z) e y=\Im(z).
  2. Calcule r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  3. Use \theta=\operatorname{atan2}(y,x) (ou \arctan(y/x) com ajuste de quadrante) para obter o argumento principal.
  4. Escreva z=r(\cos\theta+i\sin\theta) e, se quiser, z=re^{i\theta}.
Força aí — você já tem o passo a passo prontinho pra usar na prova!

Resposta

\arg(z)=\dfrac{\pi}{6}
z=2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}\bigr)=2e^{i\pi/6}
Representação geométrica: ponto (\sqrt{3},1) no plano complexo, distância ao origem 2 e ângulo com o eixo real \dfrac{\pi}{6}.

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