Exercício 14. Neste exercício, vamos obter uma variante das desigualdades obtidas em aula, conhecida como Desigualdade de Hardy. Este material pode ser encontrado na Subseção 5.8.4 da segunda edição do Evans, mas seria interessante você tentar seguir o roteiro antes de fazer a leitura da seção; em seguida, ler a seção e comparar com o que foi feito.
O objetivo é provar o seguinte: se e , então
pertence a e tem-se
Prove (1) seguindo os passos indicados abaixo:
(i) Suponha inicialmente que é suave. Observe que, pelo Exercício da Lista Zero, temos
Em seguida, aplique o Teorema da Divergência, Exercício 5(i) da Lista Zero, com no lugar de e com no lugar de para obter
Argumente por densidade que esta identidade vale para qualquer .
(ii) Inicialmente, suponha novamente suave, aplique o Teorema da Divergência para o campo de vetores e utilize Cauchy-Schwarz para obter
Em seguida, por densidade, justifique que esta última desigualdade vale para qualquer .
(iii) Juntando as desigualdades obtidas nos itens anteriores, prove (1).
Passo 1
O enunciado pede mostrar que, para , e , a função e satisfaz
Vamos provar isso em três etapas: ) obter uma identidade integral usando o Teorema da Divergência e , ) outra desigualdade de contorno via Teorema da Divergência em e Cauchy–Schwarz, ) combinar as duas para chegar à desigualdade de Hardy. Em cada etapa primeiro assumimos suave e depois estendemos por densidade a todo .
Passo 2
Suponha . Note que
nablal(1|x|r)=-x|x|^3, F(x)=u(x)^2,x|x|
Pelo Teorema da Divergência aplicado a u=|x|^-1 e F,
integralBrnablal(|x|^-1r)cdot F ,dx = - integralBr!|x|^-1,div F,dx + integralpartial Br!|x|^-1Fcdotnu,dsigma
Calcula-se
nablal(|x|^-1r)cdot F =-u^2|x|^2, div F =2,u,nabla u!cdot!x|x|+ (d-1)u^2|x|, Fcdotnu|partial Br=u^2
Use Cauchy– Schwarz para
;, e escolha pequeno de modo a absorver no lado esquerdo. Substitua também a estimativa do Passo para o termo de contorno. Ao final obtém-se