Exercício 14. Neste exercício, vamos obter uma variante das desigualdades obtidas em aula, conhecida como Desigualdade de Hardy. Este material pode ser encontrado na Subseção 5.8.4 da segunda edição do Evans, mas seria interessante você tentar seguir o roteiro antes de fazer a leitura da seção; em seguida, ler a seção e comparar com o que foi feito.
O objetivo é provar o seguinte: se d >= 3, r>0 e u in H^1(Br(0)), então
x in Br(0) longmapsto u(x)|x| in R
pertence a L^2(Br(0)) e tem-se
integralBr(0) |u(x)|^2|x|^2 d x <= c integralBr(0)(|nabla u(x)|^2+|u(x)|^2r^2) d x
Prove (1) seguindo os passos indicados abaixo:
(i) Suponha inicialmente que u é suave. Observe que, pelo Exercício 1(i v) da Lista Zero, temos
nabla(1|x|)=-x|x|^3 de modo que u(x)^2|x|^2=-nabla(1|x|) cdot u(x)^2|x|
Em seguida, aplique o Teorema da Divergência, Exercício 5(i) da Lista Zero, com |x|^-1 no lugar de u e com u(x)^2 x /|x| no lugar de F para obter
(2-d) integralBr(0) |u(x)|^2|x|^2 d x=2 integralBr(0) u(x) nabla u(x) cdot x|x|^2 d x-1r^2 integralpartial Br(0)|u(x)|^2 d sigma(x)
Argumente por densidade que esta identidade vale para qualquer u in H^1(Br(0)).
(ii) Inicialmente, suponha novamente u suave, aplique o Teorema da Divergência para o campo de vetores F(x):=u(x)^2 x e utilize Cauchy-Schwarz para obter
r integralpartial Br(0) u(x)^2 d sigma(x) <= c integralBr(0)(r^2|nabla u(x)|^2+|u(x)|^2) d x
Em seguida, por densidade, justifique que esta última desigualdade vale para qualquer u in H^1(Br(0)).
(iii) Juntando as desigualdades obtidas nos itens anteriores, prove (1).

Passo 1

O enunciado pede mostrar que, para d>=3, r>0 e uin H^1(Br(0)), a função
;xmapsto u(x)/|x|in L^2(Br(0)) e satisfaz
integralBr(0)|u(x)|^2|x|^2,dx;<=;C,integralBr(0)!l(|nabla u(x)|^2+|u(x)|^2r^2r),dx
Vamos provar isso em três etapas:
1) obter uma identidade integral usando o Teorema da Divergência e nabla(1/|x|)=-x/|x|^3,
2) outra desigualdade de contorno via Teorema da Divergência em F(x)=u^2(x),x e Cauchy–Schwarz,
3) combinar as duas para chegar à desigualdade de Hardy. Em cada etapa primeiro assumimos u suave e depois estendemos por densidade a todo H^1.

Passo 2

Suponha uin C^infty(Br(0)). Note que
nablal(1|x|r)=-x|x|^3, F(x)=u(x)^2,x|x|
Pelo Teorema da Divergência aplicado a u=|x|^-1 e F,
integralBrnablal(|x|^-1r)cdot F ,dx = - integralBr!|x|^-1,div F,dx + integralpartial Br!|x|^-1Fcdotnu,dsigma
Calcula-se
nablal(|x|^-1r)cdot F =-u^2|x|^2, div F =2,u,nabla u!cdot!x|x|+ (d-1)u^2|x|, Fcdotnu|partial Br=u^2
Desse modo chega-se a
(2-d)integralBru^2|x|^2 ,dx = 2integralBru,nabla u!cdot!x|x|^2 ,dx ;-; 1rintegralpartial Bru^2,dsigma

Passo 3

Como C^infty(Br) é denso em H^1(Br) e cada termo acima é contínuo na norma de H^1, a identidade
(2-d)integralBru^2|x|^2 ,dx = 2integralBru,nabla u!cdot!x|x|^2 ,dx ;-; 1rintegralpartial Bru^2,dsigma
vale para todo uin H^1(Br).

Passo 4

Ainda com suave, aplique o Teorema da Divergência a . Em , , logo
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, para qualquer ,
então existe (dependendo de ) tal que

Passo 5

De novo, por densidade de funções suaves em H^1, essa desigualdade de contorno
rintegralpartial Bru^2,dsigma <= CintegralBrl(r^2|nabla u|^2+u^2r),dx
estende-se a todo uin H^1(Br).

Passo 6

Da identidade do Passo temos
Use Cauchy– Schwarz para
;, e escolha pequeno de modo a absorver no lado esquerdo. Substitua também a estimativa do Passo para o termo de contorno. Ao final obtém-se
para alguma constante que depende apenas de .

Resposta

Para todo d>=3, r>0 e uin H^1(Br(0)) vale
integralBr(0)|u(x)|^2|x|^2,dx ;<=; C, integralBr(0)!l(|nabla u(x)|^2+|u(x)|^2r^2r),dx,
onde C depende só de d.

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