Determine as assíntotas do gráfico de f(x)=x3+x e use-as para esboçar o gráfico;

Passo 1

O enunciado pede para achar as assíntotas do gráfico de f(x)=x/(x+3) e usar isso para esboçar a curva. O conteúdo é função racional e as técnicas envolvem achar assíntotas verticais (onde o denominador anula) e horizontais (limites no infinito).

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f: como o denominador é x+3, não podemos ter x+3=0. Logo, x≠−3 e há uma assíntota vertical em x=−3. A teoria diz que sempre que o denominador zera e o numerador não, surge uma reta x=constante que o gráfico se aproxima.

Passo 3

Para encontrar assíntota horizontal, usamos limites quando x→±∞. Calculamos
limxtopminftyxx+3=limxtopminfty11+3/x=1
Isso mostra que y=1 é a assíntota horizontal.
Uma forma alternativa (divisão de polinômios) confirma y=1: dividindo x por x+3, obtemos
xx+3=1-3x+3
Para valores grandes de x, o termo 3/(x+3) fica próximo de zero, e f(x) se aproxima de 1.

Passo 4

Com as assíntotas x=−3 e y=1 em mãos, analisamos alguns pontos e o comportamento da curva: f(0)=0 dá o ponto (0,0). Perto de x=−3 pela esquerda f→+∞ e pela direita f→−∞. E para x grande f→1. Isso monta a forma de uma hipérbole deslocada.

Passo 5

Para esboçar, trace as retas x=−3 (vertical) e y=1 (horizontal) como guias. A parte do ramo superior fica à esquerda de x=−3 subindo ao infinito e se aproximando de y=1 à esquerda. A parte inferior fica à direita de x=−3, vem de −∞ e sobe, passando por (0,0) e aproximando-se de y=1 à direita.

Resposta

As assíntotas são x=−3 (vertical) e y=1 (horizontal).

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