Prove que lim x 0 x^2 sen(1x^2)=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0 x^2sinl(tfrac1x^2r). O conteúdo envolvido é cálculo de limite de função oscilante multiplicada por fator que tende a zero, e vamos precisar usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) e a desigualdade |sin(u)|<=1 para todo u.

Passo 2

Sabendo que para todo número real u temos -1<=sin(u)<=1, ao substituir u=1/x^2 obtemos
-1<=sinl(tfrac1x^2r)<=1
Multiplicando toda a desigualdade por x^2, que é não negativo, resulta em
-x^2<= x^2sinl(tfrac1x^2r)<= x^2

Passo 3

Agora observamos que
limxto0-x^2=0
e
limxto0x^2=0
Como x^2sin(1/x^2) fica “espremido” entre essas duas funções que tendem a zero, pelo Teorema do Confronto concluímos que
limxto0x^2sinl(tfrac1x^2r)=0

Resposta

0

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