(2,0) Determine as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais da curva
y=raizx^2-9x^2-16

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais da curva
y = raizx^2 - 9x^2 - 16
O conteúdo é análise de funções: primeiro a gente vê o domínio para achar onde o denominador anula (assíntotas verticais) e depois calcula limites em xtopminfty (assíntotas horizontais).

Passo 2

Para achar o domínio precisamos de duas coisas:
  1. Dentro da raiz deve valer x^2 - 9 >= 0, ou seja |x|>= 3.
  2. O denominador não pode ser zero: x^2 - 16 neq 0, logo xneq pm 4.
    Juntando, o domínio é
,xinRmid |x|>=3,;xneqpm4

Passo 3

Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera mas o numerador é não nulo. Aqui x^2-16=0 em x=pm4 e
raiz(pm4)^2-9=raiz16-9=raiz7neq0
Logo temos duas assíntotas verticais:
x = -4 e x = 4

Passo 4

Para xto+infty calculamos
limxtoinftyraizx^2-9x^2-16 = limxtoinftyxraiz1-tfrac9x^2x^2l(1-tfrac16x^2r) = limxtoinftyraiz1-tfrac9x^2xl(1-tfrac16x^2r) = 0
Isso mostra que, à direita, a assíntota horizontal é
y=0

Passo 5

Para xto-infty usamos |x|=-x e obtemos de modo análogo
limxto-inftyraizx^2-9x^2-16 =0
Logo, também à esquerda, a assíntota horizontal é
y=0

Resposta

As assíntotas verticais são
x=-4, x=4
e a assíntota horizontal é
y=0

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