Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{ lx1^prime=4 x1-3 x2 x2^prime=8 x1-6 x2\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes
x1^prime = 4x1 - 3x2, x2^prime = 8x1 - 6x2,
ou seja, x' = A,x, com
A = 4 & -3[6pt]8 & -6
Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!4-lambda & -3[3pt]8 & -6-lambda = (4-lambda)(-6-lambda) - (-3)cdot8
Expandindo,
(4-lambda)(-6-lambda) + 24 = -24 -4lambda +6lambda +lambda^2 +24 = lambda^2 +2lambda = lambda(lambda+2)
Logo os autovalores são
lambda1=0, lambda2=-2
]

Passo 3

Para lambda1=0 resolvemos
(A - 0cdot I),v = 0 ;Longrightarrow; 4 & -3[3pt]8 & -6 v1[3pt]v2 = 0[3pt]0
Da primeira equação 4v1-3v2=0 segue v2=tfrac43v1. Tomando v1=3 obtemos o autovetor
v^(1) = 3[3pt]4
]

Passo 4

Para lambda2=-2 resolvemos
(A + 2I),v = 0 ;Longrightarrow; 6 & -3[3pt]8 & -4 v1[3pt]v2 = 0[3pt]0
Da primeira equação 6v1-3v2=0 segue v2=2v1. Tomando v1=1 obtemos o autovetor
v^(2) = 1[3pt]2
]

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
x(t) = C1,v^(1)e^lambda1t + C2,v^(2)e^lambda2t = C13[3pt]4e^0cdot t + C21[3pt]2e^-2t
Como e^0cdot t=1, fica
x(t) = C13[3pt]4 + C2e^-2t1[3pt]2,
com C1,C2inR.
]

Resposta

x(t) = C13[3pt]4 + C2e^-2t1[3pt]2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.]

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