Determine
As assíntotas horizontais à função
, dada por
.
As assíntotas horizontais à função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar as assíntotas horizontais da função:
Aqui, o conteúdo que vamos usar é o estudo de assíntotas horizontais de funções racionais. Para encontrar essas assíntotas, precisamos analisar o comportamento da função quando
tende para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma assíntota horizontal. Uma assíntota horizontal é uma linha horizontal que a função se aproxima à medida que
vai para
ou
. Para encontrá-la, calculamos o limite de
quando
tende a esses valores.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Para simplificar, observamos que para valores grandes de
, o termo
domina dentro da raiz quadrada. Então, podemos aproximar:
Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, dividimos numerador e denominador por
:
Portanto, existe uma assíntota horizontal em
quando
tende a
.
Passo 5
Vamos agora calcular o limite de
quando
tende a
:
Novamente, para valores grandes de
, temos:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Dividimos novamente numerador e denominador por
:
Então, existe uma assíntota horizontal em
quando
tende a
.
Resposta
As assíntotas horizontais da função
são:
-
quando tende a -
quando tende a