Determine
As assíntotas horizontais à função f, dada por x+3x+raiz1+4 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar as assíntotas horizontais da função:
f(x) = x + 3x + raiz1 + 4x^2
Aqui, o conteúdo que vamos usar é o estudo de assíntotas horizontais de funções racionais. Para encontrar essas assíntotas, precisamos analisar o comportamento da função quando x tende para +infty e -infty .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma assíntota horizontal. Uma assíntota horizontal é uma linha horizontal que a função se aproxima à medida que x vai para +infty ou -infty . Para encontrá-la, calculamos o limite de f(x) quando x tende a esses valores.

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x) quando x tende a +infty :
limx to +infty x + 3x + raiz1 + 4x^2
Para simplificar, observamos que para valores grandes de x , o termo 4x^2 domina dentro da raiz quadrada. Então, podemos aproximar:
raiz1 + 4x^2 approx raiz4x^2 = 2x
Então, a expressão fica aproximadamente:
limx to +infty x + 3x + 2x = limx to +infty x + 33x

Passo 4

Agora, dividimos numerador e denominador por x :
limx to +infty 1 + 3x3 = 1 + 03 = 13
Portanto, existe uma assíntota horizontal em y = 13 quando x tende a +infty .

Passo 5

Vamos agora calcular o limite de f(x) quando x tende a -infty :
limx to -infty x + 3x + raiz1 + 4x^2
Novamente, para valores grandes de |x| , temos:
raiz1 + 4x^2 approx raiz4x^2 = 2|x| = -2x (porque x to -infty)
Substituindo na expressão:
limx to -infty x + 3x - 2x = limx to -infty x + 3-x

Passo 6

Dividimos novamente numerador e denominador por x :
limx to -infty 1 + 3x-1 = 1 + 0-1 = -1
Então, existe uma assíntota horizontal em y = -1 quando x tende a -infty .

Resposta

As assíntotas horizontais da função f(x) = x + 3x + raiz1 + 4x^2 são:
  • y = 13 quando x tende a +infty
  • y = -1 quando x tende a -infty

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