Calcule os volumes pedidos em cada item usando integrais.
Volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x^2 e y=2-x^2 em torno do eixo x=1. ( 20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que surge quando giramos a região delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 2 - x^2 em torno do eixo x = 1 . Para isso, vamos usar o conceito de integrais aplicados ao cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se interceptam, porque isso vai nos dar os limites de integração. Igualando x^2 = 2 - x^2 :
x^2 = 2 - x^2 2x^2 = 2 x^2 = 1 x = -1 e x = 1
Então, a região que vamos girar está entre x = -1 e x = 1 .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno de uma linha vertical ( x = 1 ), a melhor estratégia é usar o método das cascas cilíndricas. Esse método nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução ao considerar a soma de cascas finas.
A fórmula do volume usando cascas cilíndricas é:
V = 2pi integrala^b (raio) times (a<ura) , dx
Onde:
  • Raio é a distância de um ponto x até o eixo de rotação ( x = 1 ), que é |1 - x| .
  • Altura é a diferença entre as funções superior e inferior nesse intervalo, ou seja, (2 - x^2) - x^2 = 2 - 2x^2 .

Passo 4

Vamos montar a integral:
V = 2pi integral-1^1 (1 - x)(2 - 2x^2) , dx
Devido à simetria das funções em relação ao eixo y , podemos simplificar o cálculo integrando de 0 a 1 e depois multiplicando o resultado por 2:
V = 2 times 2pi integral0^1 (1 - x)(2 - 2x^2) , dx = 4pi integral0^1 (2 - 2x^2 - 2x + 2x^3) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 (2 - 2x^2 - 2x + 2x^3) , dx = [2x - 23x^3 - x^2 + 12x^4]0^1
Calculando nos limites:
2(1) - 23(1) - (1) + 12(1) = 2 - 23 - 1 + 12 = 56

Resposta

Portanto, o volume do sólido gerado é:
V = 103pi unidades cúbicas ú

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