Calcule os volumes pedidos em cada item usando integrais.
Volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. ( 20 pontos)
Volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que surge quando giramos a região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais aplicados ao cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se interceptam, porque isso vai nos dar os limites de integração. Igualando
:
Então, a região que vamos girar está entre
e
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno de uma linha vertical (
), a melhor estratégia é usar o método das cascas cilíndricas. Esse método nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução ao considerar a soma de cascas finas.
A fórmula do volume usando cascas cilíndricas é:
Onde:
- Raio é a distância de um ponto
até o eixo de rotação ( ), que é . - Altura é a diferença entre as funções superior e inferior nesse intervalo, ou seja,
.
Passo 4
Vamos montar a integral:
Devido à simetria das funções em relação ao eixo
, podemos simplificar o cálculo integrando de
a
e depois multiplicando o resultado por 2:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando nos limites:
Resposta
Portanto, o volume do sólido gerado é: