1. Determine as assíntotas horizontais do gráfico de f(x)=x-3raizx^2-x-6.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais da função
f(x)=x-3raizx^2-x-6
Assíntotas horizontais são os valores que f(x) se aproxima quando xto+infty e quando xto-infty. Note também que o domínio de f é dado por
x^2-x-6>=0Longrightarrow x<= -2;ou;x>=3,
portanto faz sentido estudar os limites em +infty (região x>=3) e em -infty (região x<=-2).

Passo 2

Cálculo do limite quando xto+infty. Para x>0 temos
raizx^2-x-6 = xraiz1-1x-6x^2,
então
f(x) =x-3 xraiz1-1x-6x^2 =1-3xraiz1-1x-6x^2
À medida que xto+infty, os termos tfrac3x, tfrac1x e tfrac6x^2 vão a zero, logo
limxto+inftyf(x) =1-0raiz1-0-0 =1

Passo 3

Cálculo do limite quando xto-infty. Agora x<0, então raizx^2=|x|=-x e
raizx^2-x-6 =-xraiz1-1x-6x^2
Assim
f(x) =x-3-xraiz1-1x-6x^2 =-1-3xraiz1-1x-6x^2
Quando xto-infty, novamente tfrac3x,tfrac1x,tfrac6x^2to0, de modo que
limxto-inftyf(x) =-1-0raiz1-0-0 =-1

Resposta

As assíntotas horizontais são
y=1 e y=-1

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