Determine:
integral 1+6 x(2 x-1)(x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1+6x(2x-1)(x-1),dx
Trata-se de uma integral de função racional. Vamos usar o método de frações parciais para decompor o integrando em termos mais simples, cujas antiderivadas conhecemos.

Passo 2

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
1+6x(2x-1)(x-1) = A2x-1 + Bx-1
Multiplicando ambos os lados por (2x-1)(x-1), obtemos
1+6x = A(x-1) + B(2x-1)

Passo 3

Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes com
Da segunda equação vem (A + B = -1]. Subtraindo das duas equações, encontramos

Passo 4

Substituindo A e B de volta,
1+6x(2x-1)(x-1) = -82x-1 + 7x-1
Logo
integral 1+6x(2x-1)(x-1),dx = integral l(-812x-1 +71x-1r),dx
Usando
integral 12x-1,dx = 12lnl|2x-1r|, integral 1x-1,dx = lnl|x-1r|,
segue
integral 1+6x(2x-1)(x-1),dx = -8cdot12lnl|2x-1r| +7lnl|x-1r| + C = -4lnl|2x-1r| +7lnl|x-1r| + C

Passo 5

Para escrever de forma condensada, usamos propriedades de logaritmo:
-4lnl|2x-1r| +7lnl|x-1r| = ln!l|(x-1)^7(2x-1)^4r|

Resposta

boxedintegral 1+6x(2x-1)(x-1),dx = -4lnl|2x-1r| +7lnl|x-1r| + C = ln!l|(x-1)^7(2x-1)^4r| + C

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