Determine:
integral x^38 raizx^2+4 d x, usando uma substituição trigonométrica.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
integral x^38raizx^2+4,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo principal aqui é a integral de uma função que envolve raizx^2+a^2, cuja substituição clássica é
x = atantheta
No nosso caso, a=2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2tantheta,
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dx = 2sec^2theta,dtheta, raizx^2+4 = raiz4tan^2theta+4 = 2sectheta

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral x^38raizx^2+4,dx = integral (2tantheta)^38cdot(2sectheta);l(2sec^2theta,dthetar)
Calculando passo a passo, o numerador dá (2tantheta)^3cdot2sec^2theta=16tan^3thetasec^2theta e o denominador é 16sectheta. Assim a integral vira
integral tan^3theta,sectheta,dtheta

Passo 4

Escrevemos tan^3theta=tan^2thetacdottantheta e usamos tan^2theta=sec^2theta-1. Então
integral tan^3theta,sectheta,dtheta = integral (sec^2theta-1),tantheta,sectheta,dtheta
Agora notamos que d(sectheta)=sectheta,tantheta,dtheta. Definimos
u = sectheta, du = sectheta,tantheta,dtheta,
e a integral fica
integral (u^2-1),du

Passo 5

Integramos em u:
integral (u^2-1),du = u^33-u + C = sec^3theta3 - sectheta + C

Passo 6

Voltamos à variável x. Como x=2tantheta, temos
sectheta = raiz1+tan^2theta = raiz1 + x^24 = raizx^2+42
Portanto
sec^3theta3 = 13gl(raizx^2+42gr)^3 = (x^2+4)^3/224,
e
sectheta = raizx^2+42
Substituindo, obtemos
(x^2+4)^3/224 ;-;raizx^2+42 + C

Resposta

integral x^38raizx^2+4,dx = (x^2+4)^3/224 ;-;raizx^2+42 + C

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