Exercício 4. Mostre que os pontos críticos de uma função convexa são pontos de mínimo globais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se fcolon DsubseteqR^ntoR é convexa e diferenciável em D, então qualquer ponto crítico bar x (isto é, nabla f(bar x)=0) é, na verdade, um mínimo global de f. Vamos usar a propriedade fundamental de funções convexas que liga o valor da função ao seu gradiente.

Passo 2

Lembrando a definição de convexidade com suavidade: se f é convexa e diferenciável em D, então para quaisquer x,yin D vale
f(y);>=;f(x);+;nabla f(x)^T(y - x)
Essa desigualdade é a condição de primeira ordem para convexidade.

Passo 3

Definimos ponto crítico de f como qualquer bar xin D que satisfaz
nabla f(bar x);=;0
Nosso objetivo é mostrar que, a partir disso, bar x minimiza f em todo o domínio D.

Passo 4

Aplique a desigualdade de passo 2 com x = bar x e y sendo um ponto arbitrário em D. Obtemos
f(y);>=;f(bar x);+;nabla f(bar x)^T(y-bar x)
Mas como bar x é crítico, nabla f(bar x)=0. Logo
nabla f(bar x)^T(y-bar x) = 0,
e a desigualdade vira
f(y);>=;f(bar x)para todo yin D

Passo 5

Da desigualdade
f(y)>= f(bar x)forall,yin D
segue que bar x é mínimo global de f, pois não existe ponto em D com valor de f inferior a f(bar x).

Resposta

Qualquer ponto crítico bar x de uma função convexa e diferenciável f é ponto de mínimo global de f.

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