Exercício 4. Mostre que os pontos críticos de uma função convexa são pontos de mínimo globais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se
é convexa e diferenciável em
, então qualquer ponto crítico
(isto é,
) é, na verdade, um mínimo global de
. Vamos usar a propriedade fundamental de funções convexas que liga o valor da função ao seu gradiente.
Passo 2
Lembrando a definição de convexidade com suavidade: se
é convexa e diferenciável em
, então para quaisquer
vale
Essa desigualdade é a condição de primeira ordem para convexidade.
Passo 3
Definimos ponto crítico de
como qualquer
que satisfaz
Nosso objetivo é mostrar que, a partir disso,
minimiza
em todo o domínio
.
Passo 4
Aplique a desigualdade de passo 2 com
e
sendo um ponto arbitrário em
. Obtemos
Mas como
é crítico,
. Logo
e a desigualdade vira
Passo 5
Da desigualdade
segue que
é mínimo global de
, pois não existe ponto em
com valor de
inferior a
.
Resposta
Qualquer ponto crítico
de uma função convexa e diferenciável
é ponto de mínimo global de
.