Determine as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções abaixo:
f(x)=x+\sin (x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as assíntotas horizontais e verticais da função \displaystyle f(x)=x+\sin(x).
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(x)=x+\sin(x).
  • Não há outras informações ou figuras; tudo o que precisamos está na própria definição de f.

Passo 2

O que é uma assíntota vertical e o que é uma assíntota horizontal (explicação didática, sem pular etapas):
  • Assíntota vertical em x=x_0: ocorre quando a função não está bem definida de forma finita em x_0 (por exemplo divisão por zero) e quando pelo menos uma das limites laterais explode para \pm\infty, isto é, quando
\lim_{x\to x_0^-} f(x)=\pm\infty\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\pm\infty.
Em prática: procuramos pontos x_0 onde a função “vai para infinito” ao nos aproximarmos de x_0.
  • Assíntota horizontal em y=L: ocorre quando a função tende a um valor finito L quando x tende a +\infty ou a -\infty. Ou seja
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
Em prática: verificamos os limites da função quando x cresce muito positivo ou muito negativo.

Passo 3

Verificação de existência de assíntotas verticais para \displaystyle f(x)=x+\sin(x).
  • Observação: a função x\mapsto x é contínua em toda a reta \mathbb{R}. A função x\mapsto \sin(x) também é contínua em toda \mathbb{R}. A soma de duas funções contínuas é contínua. Portanto \displaystyle f(x)=x+\sin(x) é contínua em toda \mathbb{R}.
  • Consequência: como f é definida e finita para todo x\in\mathbb{R} e não há pontos onde a função exploda ou deixe de existir, não existem pontos x_0 com limite lateral infinito. Logo, não há assíntotas verticais.

Passo 4

Preparação para analisar assíntotas horizontais: comportamento quando x\to+\infty e quando x\to-\infty.
  • Importante lembrete (ferramenta que usaremos): a função \sin(x) é limitada, isto é, para todo x,
-1\le \sin(x)\le 1.
Somando x em cada termo dessa desigualdade obtemos uma desigualdade que envolve f(x):
x-1 \le x+\sin(x)\le x+1.
Em notação com f:
x-1 \le f(x)\le x+1.

Passo 5

Limite quando x\to+\infty.
  • Observamos que
\lim_{x\to+\infty} (x-1)=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty} (x+1)=+\infty.
Pelo princípio do “teorema do confronto” (squeeze theorem): se uma função fica sempre entre duas que tendem ao mesmo limite infinito, então ela também tende ao mesmo infinito. Assim, a partir de
x-1 \le f(x)\le x+1
seguimos que
\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty.

Passo 6

Limite quando x\to -\infty.
  • Analogamente,
\lim_{x\to -\infty} (x-1)=-\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -\infty} (x+1)=-\infty.
Pelo mesmo raciocínio do confronto, da desigualdade
x-1 \le f(x)\le x+1
seguimos que
\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty.

Passo 7

Conclusão sobre assíntotas horizontais.
  • Como \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty e \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty, não existe limite finito da forma \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L. Portanto não há assíntotas horizontais.

Passo 8

Observação adicional (para evitar confusão na prova): existe a tentação de pensar em y=x como uma “reta quase assintótica”, porque f(x)-x=\sin(x) é limitado. Mas atenção: para ser assíntota obliqua precisa existir um valor finito
\lim_{x\to\infty} \bigl(f(x)-ax\bigr)
para algum a (e normalmente a=\lim f(x)/x). Aqui \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1, mas
\lim_{x\to\infty} \bigl(f(x)-x\bigr)=\lim_{x\to\infty} \sin(x)
não existe (oscila entre -1 e 1). Logo nem y=x é assíntota oblíqua no sentido clássico. Só para ficar tranquilo na prova: não há assíntota horizontal nem vertical, e também não há assíntota oblíqua bem definida com intercepto finito.

Resposta

Assíntotas horizontais: nenhuma.
Assíntotas verticais: nenhuma.

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