Determine as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as assíntotas horizontais e verticais da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras informações ou figuras; tudo o que precisamos está na própria definição de
.
Passo 2
O que é uma assíntota vertical e o que é uma assíntota horizontal (explicação didática, sem pular etapas):
- Assíntota vertical em
: ocorre quando a função não está bem definida de forma finita em (por exemplo divisão por zero) e quando pelo menos uma das limites laterais explode para , isto é, quando
Em prática: procuramos pontos
onde a função “vai para infinito” ao nos aproximarmos de
.
- Assíntota horizontal em
: ocorre quando a função tende a um valor finito quando tende a ou a . Ou seja
Em prática: verificamos os limites da função quando
cresce muito positivo ou muito negativo.
Passo 3
Verificação de existência de assíntotas verticais para
.
-
Observação: a função
é contínua em toda a reta . A função também é contínua em toda . A soma de duas funções contínuas é contínua. Portanto é contínua em toda . -
Consequência: como
é definida e finita para todo e não há pontos onde a função exploda ou deixe de existir, não existem pontos com limite lateral infinito. Logo, não há assíntotas verticais.
Passo 4
Preparação para analisar assíntotas horizontais: comportamento quando
e quando
.
- Importante lembrete (ferramenta que usaremos): a função
é limitada, isto é, para todo ,
Somando
em cada termo dessa desigualdade obtemos uma desigualdade que envolve
:
Em notação com
:
Passo 5
Limite quando
.
- Observamos que
Pelo princípio do “teorema do confronto” (squeeze theorem): se uma função fica sempre entre duas que tendem ao mesmo limite infinito, então ela também tende ao mesmo infinito. Assim, a partir de
seguimos que
Passo 6
Limite quando
.
- Analogamente,
Pelo mesmo raciocínio do confronto, da desigualdade
seguimos que
Passo 7
Conclusão sobre assíntotas horizontais.
- Como
e , não existe limite finito da forma . Portanto não há assíntotas horizontais.
Passo 8
Observação adicional (para evitar confusão na prova): existe a tentação de pensar em
como uma “reta quase assintótica”, porque
é limitado. Mas atenção: para ser assíntota obliqua precisa existir um valor finito
para algum
(e normalmente
). Aqui
, mas
não existe (oscila entre
e
). Logo nem
é assíntota oblíqua no sentido clássico. Só para ficar tranquilo na prova: não há assíntota horizontal nem vertical, e também não há assíntota oblíqua bem definida com intercepto finito.
Resposta
Assíntotas horizontais: nenhuma.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas verticais: nenhuma.