Determine as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: "Determine as assíntotas horizontais e verticais da função
".
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é dada por
. - Precisamos encontrar: (i) assíntotas horizontais (valores de
que a função aproxima quando ) e (ii) assíntotas verticais (valores de onde a função tende a ). - Observação importante: há uma expressão com valor absoluto
; isso normalmente leva a um comportamento diferente para à esquerda e à direita de .
Passo 2
Vamos reescrever
Isso significa que devemos analisar a expressão
e para
.]
Passo 3
Calculemos [f(x)) em cada ramo:
- Para
: usamos . Então
- Para
: usamos . Então
- Em
a função não está definida porque o denominador fica zero. Logo o domínio é .
Resumo obtido (usado nos passos seguintes):
não definida em } x=2.]]
Passo 4
Agora analizamos possíveis assíntotas verticais. Definição prática:
é assíntota vertical se
ou
. Ou seja, se a função “explode” para infinito ao nos aproximarmos de
.
Calculemos os limites laterais em
:
Ambos os limites são finitos (não há
). Portanto, segundo a definição,
não é uma assíntota vertical — é uma descontinuidade do tipo salto (jump discontinuity), não uma assíntota vertical.
Passo 5
Agora buscamos assíntotas horizontais. Definição prática: uma reta
é assíntota horizontal quando
ou
(pode haver uma para
e outra para
).
Como para todo
temos
, então para
(que está no ramo
) a função é exatamente
. Logo
Como para todo
temos
, então para
(que está no ramo
) a função é exatamente
. Logo
Pelo critério das assíntotas horizontais, isto significa que há uma assíntota horizontal em
para a direita e em
para a esquerda.
Passo 6
Breve interpretação geométrica (ajuda para lembrar na prova): o gráfico de
é duas retas horizontais: a reta
para
e a reta
para
, com um “buraco” em
(o ponto
não pertence ao gráfico). Como essas retas horizontais se estendem até o infinito de cada lado, elas são exatamente as assíntotas horizontais — a função não precisa “aproximar” a reta; ela coincide com ela em cada ramo.
Resposta
Assíntotas horizontais:
(quando
)
Assíntotas horizontais: (quando
)
Assíntotas verticais: nenhuma
Assíntotas horizontais:
Assíntotas verticais: nenhuma