Determine as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{|x-2|}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede: "Determine as assíntotas horizontais e verticais da função f(x)=\dfrac{|x-2|}{x-2}".
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é dada por \displaystyle f(x)=\frac{|x-2|}{x-2}.
  • Precisamos encontrar: (i) assíntotas horizontais (valores de y que a função aproxima quando x\to\pm\infty) e (ii) assíntotas verticais (valores de x onde a função tende a \pm\infty).
  • Observação importante: há uma expressão com valor absoluto |x-2|; isso normalmente leva a um comportamento diferente para x à esquerda e à direita de 2.

Passo 2

Vamos reescrever |x-2|\) como função por partes — isso é padrão e muito útil. A definição do valor absoluto é: \[|x-2|= \begin{cases} x-2, & \text{se } x-2\ge 0 \\ (\text{i.e. } x\ge 2),\\[4pt] -(x-2), & \text{se } x-2<0 \\ (\text{i.e. } x<2). \end{cases}
Isso significa que devemos analisar a expressão \dfrac{|x-2|}{x-2}\] separadamente para \(x\ge 2 e para x<2.]

Passo 3

Calculemos [f(x)) em cada ramo:
  • Para x>2: usamos |x-2|=x-2. Então
f(x)=\frac{x-2}{x-2}=1 \quad\text{para } x>2.
  • Para x<2: usamos |x-2)=-(x-2). Então
f(x)=\frac{-(x-2)}{x-2}=-1 \quad\text{para } x<2.
  • Em x=2 a função não está definida porque o denominador fica zero. Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{2\}.
Resumo obtido (usado nos passos seguintes):
f(x)= \begin{cases} 1, & x>2,\\[4pt] -1, & x<2, \end{cases} \quad\text{e \(f não definida em } x=2.]]

Passo 4

Agora analizamos possíveis assíntotas verticais. Definição prática: x=a é assíntota vertical se \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty ou \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty. Ou seja, se a função “explode” para infinito ao nos aproximarmos de a.
Calculemos os limites laterais em x=2:
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} 1 = 1,
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} (-1) = -1.
Ambos os limites são finitos (não há \pm\infty). Portanto, segundo a definição, x=2 não é uma assíntota vertical — é uma descontinuidade do tipo salto (jump discontinuity), não uma assíntota vertical.

Passo 5

Agora buscamos assíntotas horizontais. Definição prática: uma reta y=L é assíntota horizontal quando \lim_{x\to +\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty} f(x)=L (pode haver uma para +\infty e outra para -\infty).
Como para todo x>2 temos f(x)=1, então para x\to +\infty (que está no ramo x>2) a função é exatamente 1. Logo
\lim_{x\to +\infty} f(x)=1.
Como para todo x<2 temos f(x)=-1, então para x\to -\infty (que está no ramo x<2) a função é exatamente -1. Logo
\lim_{x\to -\infty} f(x)=-1.
Pelo critério das assíntotas horizontais, isto significa que há uma assíntota horizontal em y=1 para a direita e em y=-1 para a esquerda.

Passo 6

Breve interpretação geométrica (ajuda para lembrar na prova): o gráfico de f é duas retas horizontais: a reta y=-1 para x<2 e a reta y=1 para x>2, com um “buraco” em x=2 (o ponto x=2 não pertence ao gráfico). Como essas retas horizontais se estendem até o infinito de cada lado, elas são exatamente as assíntotas horizontais — a função não precisa “aproximar” a reta; ela coincide com ela em cada ramo.

Resposta

Assíntotas horizontais: y=1 (quando x\to +\infty)
Assíntotas horizontais: y=-1 (quando x\to -\infty)
Assíntotas verticais: nenhuma

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