(2,0 pontos) Calcule \lim _{t \rightarrow 0} \vec{r}(t) e \frac{d}{d t} \vec{r}(t), onde
\vec{r}(t)=\left(t e^{-3 t}, 3 t^{2} \sin ^{2}(t), \cos (2 t)\right) .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular \lim_{t\to 0}\vec{r}(t).
  2. Calcular \dfrac{d}{dt}\vec{r}(t).
As informações dadas são a função vetorial
\vec{r}(t)=\left(t e^{-3 t},\; 3 t^{2}\sin^{2}(t),\; \cos(2 t)\right).

Passo 2

Regra útil sobre limites: o limite de uma função vetorial é o vetor dos limites das componentes (isso vale quando cada limite componente existe). Ou seja,
\lim_{t\to 0}\vec{r}(t)=\left(\lim_{t\to 0} t e^{-3t},\; \lim_{t\to 0} 3t^{2}\sin^{2}t,\; \lim_{t\to 0}\cos(2t)\right).
Agora calculamos cada limite componente a componente.
Componente 1: \lim_{t\to 0} t e^{-3t}.
Explicação rápida: e^{-3t} é contínua e \lim_{t\to 0} e^{-3t}=e^{0}=1. Como t\to 0, \lim_{t\to 0} t=0. Produto de limites (quando existem) dá o limite do produto. Logo
\lim_{t\to 0} t e^{-3t}=0\cdot 1=0.
Componente 2: \lim_{t\to 0} 3t^{2}\sin^{2}t.
Dica prática: |\sin t|\le 1 para todo t. Então
\left|3t^{2}\sin^{2}t\right|\le 3t^{2}.
Como \lim_{t\to 0}3t^{2}=0, pelo teorema do confronto (squeeze) temos \lim_{t\to 0}3t^{2}\sin^{2}t=0.
Componente 3: \lim_{t\to 0}\cos(2t).
Função cosseno é contínua, então \lim_{t\to 0}\cos(2t)=\cos(0)=1.
Juntando:
\lim_{t\to 0}\vec{r}(t)=(0,\;0,\;1).

Passo 3

Regra útil sobre derivadas: a derivada de uma função vetorial é o vetor das derivadas das componentes, isto é
\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=\left(\frac{d}{dt}\bigl(t e^{-3t}\bigr),\; \frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\sin^{2}t\bigr),\; \frac{d}{dt}\bigl(\cos(2t)\bigr)\right).
Vamos derivar componente a componente, explicando as regras usadas.
Componente 1: calcular \dfrac{d}{dt}\bigl(t e^{-3t}\bigr).
Aqui usamos a regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, \dfrac{d}{dt}[u v]=u'v+uv'. Escolhendo u(t)=t e v(t)=e^{-3t}, temos u'(t)=1 e, por regra da cadeia, v'(t)=e^{-3t}\cdot(-3)=-3e^{-3t}. Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(t e^{-3t}\bigr)=1\cdot e^{-3t}+t\cdot(-3e^{-3t})=e^{-3t}(1-3t).
Componente 2: calcular \dfrac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\sin^{2}t\bigr).
Podemos tirar a constante 3 e aplicar a regra do produto a t^{2} e \sin^{2}t:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\sin^{2}t\bigr)= (t^{2})'\sin^{2}t + t^{2}\,(\sin^{2}t)'.
Aqui (t^{2})'=2t. Para (\sin^{2}t)' usamos a regra da cadeia: se w(t)=\sin t, então (w^{2})'=2w\cdot w' = 2\sin t\cdot \cos t. Assim
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\sin^{2}t\bigr)=2t\sin^{2}t + t^{2}\cdot 2\sin t\cos t.
Multiplicando pela constante 3,
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\sin^{2}t\bigr)=3\bigl(2t\sin^{2}t + 2t^{2}\sin t\cos t\bigr)=6t\sin^{2}t + 6t^{2}\sin t\cos t.
Observação: podemos deixar assim ou fatorar 6t\sin t se quisermos:
6t\sin^{2}t + 6t^{2}\sin t\cos t = 6t\sin t\bigl(\sin t + t\cos t\bigr).
Componente 3: calcular \dfrac{d}{dt}\bigl(\cos(2t)\bigr).
Usamos a regra da cadeia: derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Aqui u(t)=2t tem u'(t)=2. Logo
\frac{d}{dt}\cos(2t) = -\sin(2t)\cdot 2 = -2\sin(2t).

Passo 4

Juntando as três componentes obtenho a derivada vetorial final:
\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=\left(e^{-3t}(1-3t),\;6t\sin^{2}t + 6t^{2}\sin t\cos t,\;-2\sin(2t)\right).

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to 0}\vec{r}(t)=(0,\,0,\,1)
\displaystyle \frac{d}{dt}\vec{r}(t)=\bigl(e^{-3t}(1-3t),\;6t\sin^{2}t + 6t^{2}\sin t\cos t,\;-2\sin(2t)\bigr)

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