Determine as assíntotas horizontais e verticais, depois esboce o gráfico da função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as assíntotas horizontais e verticais da função
e depois esboçar seu gráfico. O conteúdo envolve estudo de assíntotas de função racional e análise de comportamento para desenho do gráfico. Vamos precisar usar limites para a assíntota horizontal e identificar zeros do denominador para a vertical.
Passo 2
Para achar a assíntota vertical, igualamos o denominador a zero:
⇒
. Como quando
se aproxima de 2 a função tende a
ou
, temos uma assíntota vertical em
.
Para a assíntota horizontal, analisamos o limite quando : como o grau do numerador e do denominador é igual, a assíntota é
razão dos coeficientes principais =
. Logo
é a assíntota horizontal.
Para a assíntota horizontal, analisamos o limite quando
Passo 3
Vamos achar interceptos para guiar o esboço: intercepto em
(onde
) ocorre quando
⇒
⇒ ponto
. Intercepto em
ocorre em
:
⇒ ponto
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, desenhe as retas
e
. Em
, quando
temos
e quando
temos
, formando um ramo de hipérbole acima de
. Em
, quando
temos
e em
, formando o ramo que fica abaixo de
. Para
, quando
temos
e em
, fechando o comportamento do outro ramo.
Com isso, o gráfico é uma hipérbole com dois ramos, aproximando-se das retas e
, passando pelos pontos de intercepto encontrados.
Com isso, o gráfico é uma hipérbole com dois ramos, aproximando-se das retas
Resposta
Assíntota vertical: x=2; assíntota horizontal: y=1. O gráfico é uma hipérbole com ramos que se aproximam dessas retas, interceptando os eixos em (-2,0) e (0,-1).