Determine as assíntotas horizontais e verticais, depois esboce o gráfico da função abaixo:
f(x)=x+2x-2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as assíntotas horizontais e verticais da função f(x)=x+2x-2 e depois esboçar seu gráfico. O conteúdo envolve estudo de assíntotas de função racional e análise de comportamento para desenho do gráfico. Vamos precisar usar limites para a assíntota horizontal e identificar zeros do denominador para a vertical.

Passo 2

Para achar a assíntota vertical, igualamos o denominador a zero: x-2=0 x=2. Como quando x se aproxima de 2 a função tende a +infty ou -infty, temos uma assíntota vertical em x=2.
Para a assíntota horizontal, analisamos o limite quando xtopminfty: como o grau do numerador e do denominador é igual, a assíntota é y= razão dos coeficientes principais = 1/1=1. Logo y=1 é a assíntota horizontal.

Passo 3

Vamos achar interceptos para guiar o esboço: intercepto em x (onde f(x)=0) ocorre quando x+2=0 x=-2 ⇒ ponto (-2,0). Intercepto em y ocorre em x=0: f(0)=2/(-2)=-1 ⇒ ponto (0,-1).

Passo 4

Para esboçar o gráfico, desenhe as retas x=2 e y=1. Em x>2, quando xto2^+ temos fto+infty e quando xto+infty temos fto1^+, formando um ramo de hipérbole acima de y=1. Em -2, quando xto2^- temos fto-infty e em x=0 f=-1, formando o ramo que fica abaixo de y=1. Para x<-2, quando xto-infty temos fto1^- e em x=-2 f=0, fechando o comportamento do outro ramo.
Com isso, o gráfico é uma hipérbole com dois ramos, aproximando-se das retas x=2 e y=1, passando pelos pontos de intercepto encontrados.

Resposta

Assíntota vertical: x=2; assíntota horizontal: y=1. O gráfico é uma hipérbole com ramos que se aproximam dessas retas, interceptando os eixos em (-2,0) e (0,-1).

Exercícios relacionados