Encontre os valores de a que tornam a função f contínua em todos os reais.
f(x)=\left\{\begin{array}{l} a \operatorname{sen}(\pi x)+4 x^{2}, \text { se } x \leq \frac{1}{2} \\ x^{3}-a x, x>\frac{1}{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de a\) que tornam a função \[f(x)=\begin{cases} a\sin(\pi x)+4x^{2}, & \text{se } x\leq \tfrac{1}{2},\\[4pt] x^{3}-ax, & \text{se } x>\tfrac{1}{2}, \end{cases}
contínua para todo x\in\mathbb{R}\]. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: - A função é definida por duas expressões diferentes, uma para \(x\leq \tfrac{1}{2} e outra para x>\tfrac{1}{2}.
- Precisamos que f seja contínua em todos os reais; como cada ramo é uma combinação de funções contínuas (seno, polinômios), os únicos pontos que podem dar problema são pontos de transição — aqui, o ponto de transição é x=\tfrac{1}{2}.
- Portanto, a questão essencial é: que valor(es) de a fazem as duas expressões “se encontrarem” de forma contínua em x=\tfrac{1}{2}?]

Passo 2

Revisão rápida e intuitiva do conceito que vamos usar (sem pressa): uma função f é contínua em um ponto x_0 quando o valor da função em x_0 é igual ao limite à esquerda e ao limite à direita em x_0. Em símbolos:
f \text{ é contínua em } x_0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0).éí
No nosso caso x_0=\tfrac{1}{2}. Como o ramo esquerdo está definido para x\leq\tfrac{1}{2}, o valor f(\tfrac{1}{2}) vem do ramo esquerdo. Então precisamos que o valor do ramo esquerdo em x=\tfrac{1}{2} seja igual ao limite do ramo direito quando x\to\tfrac{1}{2}^+.

Passo 3

Verificação da continuidade dos ramos isolados:
  • O ramo esquerdo x\mapsto a\sin(\pi x)+4x^{2} é soma de funções contínuas ( \sin(\pi x) e x^2), logo é contínuo em todo \mathbb{R} — em particular, o valor em x=\tfrac{1}{2} está bem definido por essa expressão.
  • O ramo direito x\mapsto x^{3}-ax é um polinômio (dependendo de a), portanto também contínuo em todo \mathbb{R}. Logo os limites laterais existem; só precisamos garantir que sejam iguais em x=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular o valor de f no ponto x=\tfrac{1}{2} usando o ramo esquerdo (porque o enunciado define f com x\leq\tfrac{1}{2}):
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=a\sin\!\big(\pi\cdot\tfrac{1}{2}\big)+4\big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}.
Agora avaliamos as partes conhecidas: \sin(\pi\cdot\tfrac{1}{2})=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1 e \big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}=\tfrac{1}{4}. Substituindo:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=a\cdot 1 + 4\cdot \tfrac{1}{4}=a+1.

Passo 5

Calcular o limite à direita em x=\tfrac{1}{2}, que vem do ramo direito x^{3}-ax:
\lim_{x\to \tfrac{1}{2}^{+}} f(x)=\lim_{x\to \tfrac{1}{2}^{+}} \big(x^{3}-ax\big).
Como x^{3}-ax é contínuo, esse limite é simplesmente o valor da expressão em x=\tfrac{1}{2}:
\lim_{x\to \tfrac{1}{2}^{+}} f(x)=\big(\tfrac{1}{2}\big)^{3}-a\big(\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{8}-\tfrac{a}{2}.

Passo 6

Impor a condição de continuidade em x=\tfrac{1}{2}: o valor à esquerda (e o próprio valor da função) deve igualar o limite à direita. Logo:
a+1=\tfrac{1}{8}-\tfrac{a}{2}.
Agora vamos resolver cuidadosamente essa equação linear para a. Primeiro, elimino frações multiplicando ambos os lados por 8 (para facilitar contas sem calculadora):
8(a+1)=8\Big(\tfrac{1}{8}-\tfrac{a}{2}\Big).
Calculando cada lado:
8a+8 = 1 - 4a.
Agora reúno os termos em a no mesmo lado: somo 4a em ambos os lados:
8a+4a+8 = 1.
Isto é
12a+8=1.
Subtraio 8 de ambos os lados:
12a = 1-8 = -7.
Finalmente divido por 12:
a = -\tfrac{7}{12}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: para a=-\tfrac{7}{12} temos
  • f(\tfrac{1}{2})=a+1 = -\tfrac{7}{12}+1 = \tfrac{5}{12}.
  • Limite à direita: \tfrac{1}{8}-\tfrac{a}{2} = \tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{2}\big(-\tfrac{7}{12}\big)=\tfrac{1}{8}+\tfrac{7}{24}=\tfrac{3}{24}+\tfrac{7}{24}=\tfrac{10}{24}=\tfrac{5}{12}.
    Coincidem, então com esse valor de a a função é contínua em x=\tfrac{1}{2}. Como os ramos são contínuos isoladamente, concluímos que a função fica contínua em todos os reais.

Resposta

-\tfrac{7}{12}

Exercícios relacionados