Encontre os valores de
que tornam a função
contínua em todos os reais.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de
contínua para todo
e outra para
.
- Precisamos que seja contínua em todos os reais; como cada ramo é uma combinação de funções contínuas (seno, polinômios), os únicos pontos que podem dar problema são pontos de transição — aqui, o ponto de transição é
.
- Portanto, a questão essencial é: que valor(es) de fazem as duas expressões “se encontrarem” de forma contínua em
?]
- Precisamos que
- Portanto, a questão essencial é: que valor(es) de
Passo 2
Revisão rápida e intuitiva do conceito que vamos usar (sem pressa): uma função
é contínua em um ponto
quando o valor da função em
é igual ao limite à esquerda e ao limite à direita em
. Em símbolos:
No nosso caso
. Como o ramo esquerdo está definido para
, o valor
vem do ramo esquerdo. Então precisamos que o valor do ramo esquerdo em
seja igual ao limite do ramo direito quando
.
Passo 3
Verificação da continuidade dos ramos isolados:
- O ramo esquerdo
é soma de funções contínuas ( e ), logo é contínuo em todo — em particular, o valor em está bem definido por essa expressão. - O ramo direito
é um polinômio (dependendo de ), portanto também contínuo em todo . Logo os limites laterais existem; só precisamos garantir que sejam iguais em .
Passo 4
Calcular o valor de
no ponto
usando o ramo esquerdo (porque o enunciado define
com
):
Agora avaliamos as partes conhecidas:
e
. Substituindo:
Passo 5
Calcular o limite à direita em
, que vem do ramo direito
:
Como
é contínuo, esse limite é simplesmente o valor da expressão em
:
Passo 6
Impor a condição de continuidade em
: o valor à esquerda (e o próprio valor da função) deve igualar o limite à direita. Logo:
Agora vamos resolver cuidadosamente essa equação linear para
. Primeiro, elimino frações multiplicando ambos os lados por
(para facilitar contas sem calculadora):
Calculando cada lado:
Agora reúno os termos em
no mesmo lado: somo
em ambos os lados:
Isto é
Subtraio
de ambos os lados:
Finalmente divido por
:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: para
temos
-
. - Limite à direita:
.
Coincidem, então com esse valor dea função é contínua em . Como os ramos são contínuos isoladamente, concluímos que a função fica contínua em todos os reais.