Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:
b) f(x) = 4x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=4x e pede para determinar:
  • as assíntotas horizontais do gráfico;
  • as assíntotas verticais do gráfico.

Passo 2

O que é uma assíntota vertical (rapidamente, para entender o teste que vamos fazer). Diz-se que há uma assíntota vertical em x=a se, ao se aproximar de a pela direita ou pela esquerda, o valor de f(x) cresce em módulo sem limite, isto é, se uma das condições ocorrer:
\lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty.
Um caso típico que gera assíntota vertical é g(x)=\dfrac{1}{x-2}: ali \lim_{x\to2^\pm} g(x)=\pm\infty, logo x=2 é assíntota vertical. Para testar verticalmente, procure pontos onde a função fique indefinida (denominador zero, log negativo, raiz par de número negativo etc.) e calcule os limites laterais.

Passo 3

Aplicando isso a f(x)=4x: a expressão 4x está definida para todo x\in\mathbb{R} (não há denominador nem raiz que restrinja o domínio). Para qualquer a\in\mathbb{R} tem-se
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} 4x = 4a,
que é um número finito. Como nenhum limite lateral vai para \pm\infty, concluímos que não há assíntotas verticais.

Passo 4

O que é uma assíntota horizontal. Diz-se que a reta y=L é assíntota horizontal à direita se
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L,
e é assíntota horizontal à esquerda se
\lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
Um exemplo clássico: h(x)=\dfrac{1}{x} tem \lim_{x\to\pm\infty} h(x)=0, então y=0 é assíntota horizontal.

Passo 5

Calcule os limites na infinidade para f(x)=4x:
\lim_{x\to+\infty} 4x = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} 4x = -\infty.
Como nenhuma dessas duas limites é um número finito L, não existe assíntota horizontal nem à direita nem à esquerda.

Passo 6

Comentário adicional (útil para a prova): funções lineares do tipo y=mx+b com m\neq0 não têm assíntotas horizontais nem verticais; em vez disso a própria reta é o gráfico inteiro. Às vezes fala-se em assíntota oblíqua (ou inclinada): se uma função se aproxima, para x\to\pm\infty, de uma reta y=mx+b então essa reta é assíntota oblíqua. No caso f(x)=4x a própria reta y=4x é o gráfico, então essa é a reta que descreve o comportamento (mas a pergunta pediu apenas horizontais e verticais).

Resposta

Assíntotas horizontais: nenhuma.
Assíntotas verticais: nenhuma.

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