Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar:
- as assíntotas horizontais do gráfico;
- as assíntotas verticais do gráfico.
Passo 2
O que é uma assíntota vertical (rapidamente, para entender o teste que vamos fazer). Diz-se que há uma assíntota vertical em
se, ao se aproximar de
pela direita ou pela esquerda, o valor de
cresce em módulo sem limite, isto é, se uma das condições ocorrer:
Um caso típico que gera assíntota vertical é
: ali
, logo
é assíntota vertical. Para testar verticalmente, procure pontos onde a função fique indefinida (denominador zero, log negativo, raiz par de número negativo etc.) e calcule os limites laterais.
Passo 3
Aplicando isso a
: a expressão
está definida para todo
(não há denominador nem raiz que restrinja o domínio). Para qualquer
tem-se
que é um número finito. Como nenhum limite lateral vai para
, concluímos que não há assíntotas verticais.
Passo 4
O que é uma assíntota horizontal. Diz-se que a reta
é assíntota horizontal à direita se
e é assíntota horizontal à esquerda se
Um exemplo clássico:
tem
, então
é assíntota horizontal.
Passo 5
Calcule os limites na infinidade para
:
Como nenhuma dessas duas limites é um número finito
, não existe assíntota horizontal nem à direita nem à esquerda.
Passo 6
Comentário adicional (útil para a prova): funções lineares do tipo
com
não têm assíntotas horizontais nem verticais; em vez disso a própria reta é o gráfico inteiro. Às vezes fala-se em assíntota oblíqua (ou inclinada): se uma função se aproxima, para
, de uma reta
então essa reta é assíntota oblíqua. No caso
a própria reta
é o gráfico, então essa é a reta que descreve o comportamento (mas a pergunta pediu apenas horizontais e verticais).
Resposta
Assíntotas horizontais: nenhuma.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas verticais: nenhuma.