Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 4x

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede as assíntotas horizontais e verticais:
  • Função: f(x)=4x.
  • Perguntas:
    1. Quais são as assíntotas horizontais do gráfico de f?
    2. Quais são as assíntotas verticais do gráfico de f?

Passo 2

Definição e teste para assíntota horizontal (explicação didática).
  • Definição: uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal quando pelo menos uma das seguintes condições vale: \lim_{x\to\infty} f(x)=L \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to -\infty} f(x)=L,isto é, conforme x vai para +\infty ou -\infty, os valores de f(x) aproximam-se de um número finito L.
  • Vamos calcular os limites de f(x)=4x quando x\to\infty e x\to -\infty.
Cálculos:
\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} 4x = +\infty,
pois multiplicar uma variável que cresce sem limite por 4 diverge para +\infty.
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty} 4x = -\infty.
Ambos os limites são infinitos (não finitos), logo não existe número real L que seja limite em +\infty ou -\infty. Portanto não há assíntota horizontal.

Passo 3

Definição e teste para assíntota vertical (explicação didática).
  • Definição: uma reta vertical x=a é assíntota vertical quando pelo menos uma das limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x)\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+} f(x)é +\infty ou -\infty. Normalmente isso ocorre onde a função não está definida (por exemplo divisão por zero) ou tem singularidade.
  • Verificar domínio e comportamento de f(x)=4x.
Observação sobre o domínio: f(x)=4x é um polinômio (grau 1), definido para todo x\in\mathbb{R}. Não há pontos em que a função deixe de existir (nenhum denominador, log, raiz de índice par de expressão negativa etc.).
  • Para qualquer ponto a\in\mathbb{R} temos \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} 4x = 4a,um número finito. Em particular as limites laterais em qualquer a são finitas e iguais a 4a. Portanto não existe a tal que algum dos limites laterais seja infinito. Conclusão: não há assíntota vertical.

Passo 4

Resumo do raciocínio em linguagem de prova curta e direta:
  • Horizontais: como f(x)\to\pm\infty quando x\to\pm\infty, não existe reta horizontal do tipo y=L que aproxime o gráfico nas extremidades. Logo nenhuma assíntota horizontal.
  • Verticais: a função é definida e contínua para todo x e para todo a tem limite finito \lim_{x\to a}f(x)=4a, então não há assíntota vertical.
Força aí nos estudos — isso era tranquilo, já era! Se quiser, posso fazer o mesmo passo a passo para uma função racional mais interessante (por exemplo f(x)=\dfrac{4x}{x-1}) onde aparecem assíntotas.

Resposta

Assíntotas horizontais: nenhuma
Assíntotas verticais: nenhuma

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