Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as assíntotas horizontais e verticais:
- Função:
. - Perguntas:
- Quais são as assíntotas horizontais do gráfico de
? - Quais são as assíntotas verticais do gráfico de
?
- Quais são as assíntotas horizontais do gráfico de
Passo 2
Definição e teste para assíntota horizontal (explicação didática).
- Definição: uma reta horizontal
é assíntota horizontal quando pelo menos uma das seguintes condições vale: isto é, conforme vai para ou , os valores de aproximam-se de um número finito . - Vamos calcular os limites de
quando e .
Cálculos:
pois multiplicar uma variável que cresce sem limite por
diverge para
.
Ambos os limites são infinitos (não finitos), logo não existe número real
que seja limite em
ou
. Portanto não há assíntota horizontal.
Passo 3
Definição e teste para assíntota vertical (explicação didática).
- Definição: uma reta vertical
é assíntota vertical quando pelo menos uma das limites laterais é ou . Normalmente isso ocorre onde a função não está definida (por exemplo divisão por zero) ou tem singularidade. - Verificar domínio e comportamento de
.
Observação sobre o domínio:
é um polinômio (grau 1), definido para todo
. Não há pontos em que a função deixe de existir (nenhum denominador, log, raiz de índice par de expressão negativa etc.).
- Para qualquer ponto
temos um número finito. Em particular as limites laterais em qualquer são finitas e iguais a . Portanto não existe tal que algum dos limites laterais seja infinito. Conclusão: não há assíntota vertical.
Passo 4
Resumo do raciocínio em linguagem de prova curta e direta:
- Horizontais: como
quando , não existe reta horizontal do tipo que aproxime o gráfico nas extremidades. Logo nenhuma assíntota horizontal. - Verticais: a função é definida e contínua para todo
e para todo tem limite finito , então não há assíntota vertical.
Força aí nos estudos — isso era tranquilo, já era! Se quiser, posso fazer o mesmo passo a passo para uma função racional mais interessante (por exemplo
) onde aparecem assíntotas.
Resposta
Assíntotas horizontais: nenhuma
Assíntotas verticais: nenhuma
Assíntotas verticais: nenhuma