Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
Informações relevantes dadas (ou implícitas):
- A variável é
e o limite é quando tende a . - O seno está em função de
: . - Para esse tipo de limite é obrigatório usar a medida em radianos (a demonstração que vem a seguir depende disso).
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Vou lembrar um resultado que vou usar: o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Em palavras simples:
se, para próximos de um ponto, tivermos
se, para
e se
então
Isso significa que se
fica “apertado” entre duas funções que têm o mesmo limite, então
também tem esse limite. Vou aplicar isso para a função
.
Passo 3
Construção geométrica (intuição que gera as desigualdades). Considere o círculo unitário (raio
) centrado na origem. Tome um ângulo
com
(padrão para a demonstração à direita de zero). Marque o ponto
e o ponto
. Desenhe:
- o triângulo
(onde é o centro), - o setor circular de ângulo
entre os raios e , - e o triângulo formado pela tangente em
que toca a reta tangente ao círculo (triângulo externo que contém o setor).
Comparando as áreas (triângulo interno) < (setor) < (triângulo externo) obtemos uma desigualdade que liga, e . Agora vou traduzir isso em fórmulas.
Passo 4
Cálculo das áreas usadas na desigualdade (todas para o círculo de raio
):
- Área do triângulo
: base e altura , mas mais direto usar fórmula de área em função do seno do ângulo entre dois lados de comprimento : . - Área do setor circular de ângulo
: (área do círculo unitário é , fração do total dá ). - Área do triângulo externo (formado pela tangente):
.
Assim obtemos, para,
Multiplicando tudo por
:
Passo 5
Manipulação algébrica da desigualdade para isolar
. Escrevendo
, a desigualdade
dá
Dividindo cada termo por
(positivo para
) obtemos
Tomando recíprocos (mantendo a desigualdade, agora invertida):
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto: sabemos que
Pela desigualdade do passo anterior,
fica “entre”
e
. Assim, pelo Teorema do Confronto,
Passo 7
Limite pela esquerda (quando
). Observação útil: a função
é uma função par, pois
Isso mostra que o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita. Portanto
Passo 8
Conclusão final juntando as duas direções: o limite bilateral existe e vale
. Pequeno lembrete pedagógico: tudo acima depende de usar radianos — se
estivesse em graus a relação entre área do setor e o ângulo seria diferente e a prova cairia por terra. Então sempre trabalhar em radianos quando tratar limites envolvendo funções trigonométricas.