Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
a) \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}.
Informações relevantes dadas (ou implícitas):
  • A variável é x e o limite é quando x tende a 0.
  • O seno está em função de x: \sin(x).
  • Para esse tipo de limite é obrigatório usar a medida em radianos (a demonstração que vem a seguir depende disso).
    A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Vou lembrar um resultado que vou usar: o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Em palavras simples:
se, para x próximos de um ponto, tivermos
f(x)\le g(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} g(x)=L.
Isso significa que se g(x) fica “apertado” entre duas funções que têm o mesmo limite, então g também tem esse limite. Vou aplicar isso para a função g(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}.

Passo 3

Construção geométrica (intuição que gera as desigualdades). Considere o círculo unitário (raio 1) centrado na origem. Tome um ângulo x com 0<x<\tfrac{\pi}{2} (padrão para a demonstração à direita de zero). Marque o ponto A=(1,0) e o ponto B=(\cos x,\sin x). Desenhe:
  • o triângulo OAB (onde O é o centro),
  • o setor circular de ângulo x entre os raios OA e OB,
  • e o triângulo formado pela tangente em A que toca a reta tangente ao círculo (triângulo externo que contém o setor).
    Comparando as áreas (triângulo interno) < (setor) < (triângulo externo) obtemos uma desigualdade que liga \sin(x), x e \tan(x). Agora vou traduzir isso em fórmulas.

Passo 4

Cálculo das áreas usadas na desigualdade (todas para o círculo de raio 1):
  • Área do triângulo OAB: base = \cos x e altura = \sin x, mas mais direto usar fórmula de área em função do seno do ângulo entre dois lados de comprimento 1: \dfrac{1}{2}\sin(x).
  • Área do setor circular de ângulo x: \dfrac{1}{2}x (área do círculo unitário é \pi, fração x/(2\pi) do total dá \tfrac{1}{2}x).
  • Área do triângulo externo (formado pela tangente): \dfrac{1}{2}\tan(x).
    Assim obtemos, para 0<x<\tfrac{\pi}{2},
\frac{1}{2}\sin(x) < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan(x).
Multiplicando tudo por 2:
\sin(x) < x < \tan(x).

Passo 5

Manipulação algébrica da desigualdade para isolar \dfrac{\sin(x)}{x}. Escrevendo \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}, a desigualdade \sin(x) < x < \tan(x)
\sin(x) < x < \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.
Dividindo cada termo por \sin(x) (positivo para 0<x<\tfrac{\pi}{2}) obtemos
1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{1}{\cos(x)}.
Tomando recíprocos (mantendo a desigualdade, agora invertida):
\cos(x) < \frac{\sin(x)}{x} < 1, \qquad\text{para }0<x<\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto: sabemos que
\lim_{x\to 0^+} \cos(x)=1.
Pela desigualdade do passo anterior, \dfrac{\sin(x)}{x} fica “entre” \cos(x) e 1. Assim, pelo Teorema do Confronto,
\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin(x)}{x} = 1.

Passo 7

Limite pela esquerda (quando x\to 0^{-}). Observação útil: a função \dfrac{\sin(x)}{x} é uma função par, pois
\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin(x)}{-x} = \frac{\sin(x)}{x}.
Isso mostra que o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita. Portanto
\lim_{x\to 0^-} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{\sin(x)}{x} = 1.

Passo 8

Conclusão final juntando as duas direções: o limite bilateral existe e vale 1. Pequeno lembrete pedagógico: tudo acima depende de usar radianos — se x estivesse em graus a relação entre área do setor e o ângulo seria diferente e a prova cairia por terra. Então sempre trabalhar em radianos quando tratar limites envolvendo funções trigonométricas.

Resposta

1

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