Exercícios 11-15: Para a
dada, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(não existe).
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para expressar o limite
como
,
ou
(não existe). As informações fornecidas no enunciado que eu tenho aqui são:
- A expressão diz apenas “Para a
dada” mas a função não foi fornecida neste enunciado que recebi. - Não há gráfico, nem fórmulas, nem valores numéricos em torno de
.
Passo 2
Como a função
não foi dada, não existe informação suficiente para determinar qual das três alternativas (
) é a correta. O valor do limite depende exclusivamente do comportamento de
quando
se aproxima de
. Sem conhecer esse comportamento (a fórmula de
ou o gráfico local), qualquer resposta seria um chute. Portanto, não é possível calcular o limite solicitado com os dados faltantes.
Passo 3
Agora vou te ensinar, passo a passo, como decidir na prova se um limite do tipo
é
,
ou
. Primeiro: o que cada caso significa, formalmente e em palavras simples.
-
Definição de limite finito (resumida):
(com finito) significa que, quando fica muito perto de (mas diferente de ), fica muito perto de . Em provas usa-se a definição - , mas aqui basta guardar a ideia de “valores se aproximam de um número finito”. -
Definição de limite infinito para
: dizemos se, para qualquer número grande , existe tal que implica . Em palavras: ao aproximar de , cresce sem limite superior. -
Definição de limite infinito para
: se, para qualquer número muito negativo , existe tal que implica . Em palavras: decresce sem limite inferior ao aproximar . -
Quando dizemos que o limite “não existe” (
): isso ocorre quando não se enquadra nem em um limite finito nem em um limite que seja ou . Exemplos típicos: as duas limites laterais existem mas são diferentes; as duas laterais vão para sinais opostos de infinito; ou oscila entre vários valores (por exemplo ).
Passo 4
Como checar isso na prática — checklist direto para prova (use na ordem mais simples possível):
- Calcule as limites laterais
e . - Se ambas existirem e forem iguais a um número finito
, então (não é um dos três pedidos, mas é o caso comum). - Se ambas forem
, então . - Se ambas forem
, então . - Se as duas laterais existirem mas são diferentes (por exemplo uma é
e a outra , ou uma é um número finito e outra é infinita, ou duas finitas distintas), então . - Se as laterais não existem por oscilação (por exemplo
), então .
Passo 5
Técnicas rápidas para calcular cada lateral (coisas que realmente aparecem em prova):
- Para funções racionais
: fatorar e simplificar; se e , provavelmente há assimptota vertical em e o limite lateral será dependendo do sinal do quociente próximo a . Compare sinais ao lado esquerdo e direito. - Para indeterminações
: tente fatorar, cancelar, ou usar limite de polinômios; só use L’Hôpital se já dominou as hipóteses ( ou ). - Para radicais, exponenciais e logaritmos: use álgebra (racionalização, propriedades do log, etc.) ou regras de crescimento (exponencial cresce mais rápido que qualquer potência).
- Para comportamento oscilatório: identifique se existe algo do tipo
— nesses casos o limite não existe. - Sempre que identificar sinais distintos nas duas laterais, anote imediatamente que o limite total é
.
Passo 6
Exemplos curtos e comentados (pra fixar):
- Exemplo A:
. Ao aproximar por qualquer lado, . Então . - Exemplo B:
. Temos e . As laterais não coincidem, logo . - Exemplo C:
. Ao aproximar não há aproximação para nenhum número nem para infinito — a função oscila entre e . Logo .
Estes exemplos mostram as três possibilidades reais:(por laterais diferentes) e (por oscilação); aparece em exemplos onde a função vai negativamente sem limite.
Passo 7
Resumo prático para a sua prova (mini-roteiro que você pode memorizar):
-
- Olhe para
e tente simplificar; 2) calcule ambas as laterais; 3) compare: mesmas laterais = limite (pode ser finito ou ); laterais diferentes = ; 4) se for dúvida de sinal, faça tabelinha de sinais à esquerda e à direita de . Respire, faça devagar — você consegue.
- Olhe para
Resposta
Não é possível determinar — a função
não foi fornecida.