Exercícios 11-15: Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como \infty,-\infty ou \nexists (não existe).
c) \lim_{x \to a} f(x)

Passo 1

O enunciado pede para expressar o limite
\lim_{x \to a} f(x)
como \infty, -\infty ou \nexists (não existe). As informações fornecidas no enunciado que eu tenho aqui são:
  • A expressão diz apenas “Para a f(x) dada” mas a função f(x) não foi fornecida neste enunciado que recebi.
  • Não há gráfico, nem fórmulas, nem valores numéricos em torno de x=a.

Passo 2

Como a função f(x) não foi dada, não existe informação suficiente para determinar qual das três alternativas ( \infty,\\\ -\infty,\\ \nexists) é a correta. O valor do limite depende exclusivamente do comportamento de f(x) quando x se aproxima de a. Sem conhecer esse comportamento (a fórmula de f ou o gráfico local), qualquer resposta seria um chute. Portanto, não é possível calcular o limite solicitado com os dados faltantes.

Passo 3

Agora vou te ensinar, passo a passo, como decidir na prova se um limite do tipo \lim_{x\to a} f(x) é \infty, -\infty ou \nexists. Primeiro: o que cada caso significa, formalmente e em palavras simples.
  • Definição de limite finito (resumida): \lim_{x\to a} f(x)=L (com L finito) significa que, quando x fica muito perto de a (mas diferente de a), f(x) fica muito perto de L. Em provas usa-se a definição \varepsilon- \delta, mas aqui basta guardar a ideia de “valores se aproximam de um número finito”.
  • Definição de limite infinito para +\infty: dizemos \lim_{x\to a} f(x)=\infty se, para qualquer número grande M>0, existe \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta implica f(x)>M. Em palavras: ao aproximar x de a, f(x) cresce sem limite superior.
  • Definição de limite infinito para -\infty: \lim_{x\to a} f(x)=-\infty se, para qualquer número muito negativo N<0, existe \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta implica f(x)<N. Em palavras: f(x) decresce sem limite inferior ao aproximar a.
  • Quando dizemos que o limite “não existe” ( \nexists): isso ocorre quando não se enquadra nem em um limite finito nem em um limite que seja +\infty ou -\infty. Exemplos típicos: as duas limites laterais existem mas são diferentes; as duas laterais vão para sinais opostos de infinito; ou f(x) oscila entre vários valores (por exemplo \sin(1/(x-a))).

Passo 4

Como checar isso na prática — checklist direto para prova (use na ordem mais simples possível):
  1. Calcule as limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x).
  2. Se ambas existirem e forem iguais a um número finito L, então \lim_{x\to a} f(x)=L (não é um dos três pedidos, mas é o caso comum).
  3. Se ambas forem +\infty, então \lim_{x\to a} f(x)=\infty.
  4. Se ambas forem -\infty, então \lim_{x\to a} f(x)=-\infty.
  5. Se as duas laterais existirem mas são diferentes (por exemplo uma é +\infty e a outra -\infty, ou uma é um número finito e outra é infinita, ou duas finitas distintas), então \lim_{x\to a} f(x)=\nexists.
  6. Se as laterais não existem por oscilação (por exemplo \sin(1/(x-a))), então \nexists.

Passo 5

Técnicas rápidas para calcular cada lateral (coisas que realmente aparecem em prova):
  • Para funções racionais \dfrac{p(x)}{q(x)}: fatorar e simplificar; se q(a)=0 e p(a)\neq0, provavelmente há assimptota vertical em x=a e o limite lateral será \pm\infty dependendo do sinal do quociente próximo a a. Compare sinais ao lado esquerdo e direito.
  • Para indeterminações 0/0: tente fatorar, cancelar, ou usar limite de polinômios; só use L’Hôpital se já dominou as hipóteses ( 0/0 ou \infty/\infty).
  • Para radicais, exponenciais e logaritmos: use álgebra (racionalização, propriedades do log, etc.) ou regras de crescimento (exponencial cresce mais rápido que qualquer potência).
  • Para comportamento oscilatório: identifique se existe algo do tipo \sin(1/(x-a)) — nesses casos o limite não existe.
  • Sempre que identificar sinais distintos nas duas laterais, anote imediatamente que o limite total é \nexists.

Passo 6

Exemplos curtos e comentados (pra fixar):
  • Exemplo A: f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^2}. Ao aproximar a por qualquer lado, f(x)\to+\infty. Então \lim_{x\to a} f(x)=\infty.
  • Exemplo B: f(x)=\dfrac{1}{x-a}. Temos \lim_{x\to a^-} f(x)=-\infty e \lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty. As laterais não coincidem, logo \lim_{x\to a} f(x)=\nexists.
  • Exemplo C: f(x)=\sin\bigl(\tfrac{1}{x-a}\bigr). Ao aproximar a não há aproximação para nenhum número nem para infinito — a função oscila entre -1 e 1. Logo \lim_{x\to a} f(x)=\nexists.
    Estes exemplos mostram as três possibilidades reais: \infty,\\ \nexists (por laterais diferentes) e \nexists (por oscilação); -\infty aparece em exemplos onde a função vai negativamente sem limite.

Passo 7

Resumo prático para a sua prova (mini-roteiro que você pode memorizar):
    1. Olhe para f(x) e tente simplificar; 2) calcule ambas as laterais; 3) compare: mesmas laterais = limite (pode ser finito ou \pm\infty); laterais diferentes = \nexists; 4) se for dúvida de sinal, faça tabelinha de sinais à esquerda e à direita de a. Respire, faça devagar — você consegue.

Resposta

Não é possível determinar — a função f(x) não foi fornecida.

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