Enuncie o TFC e use-o para calcular as seguintes integrais definidas:
integral1^9 1raizx(1+raizx)^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e depois usá-lo para calcular a integral
integral1^91raizx,l(1+raizxr)^2dx
Vamos lembrar o TFC e depois encontrar uma primitiva dessa função usando substituição de variável.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se f é contínua em [a,b] e F é uma antiderivada de f (isto é, F'(x)=f(x)), então
integrala^bf(x),dx = F(b)-F(a)

Passo 3

Para achar uma antiderivada de
1raizx,(1+raizx)^2,
faremos a substituição
u = 1 + raizx
Então
du = 12raizx,dx Longrightarrow dxraizx = 2,du
Quando x=1, raizx=1 e u=2. Quando x=9, raizx=3 e u=4. Logo a integral vira
integral1^91raizx,(1+raizx)^2dx = integralu=2^u=41u^2;l(2,dur) = 2integral2^4u^-2,du

Passo 4

Agora integramos 2u^-2:
integral 2u^-2,du = 2l(-u^-1r) = -2u
Pelo TFC,
2integral2^4u^-2,du =l[-tfrac2ur]2^4 =l(-tfrac24r)-l(-tfrac22r) =-tfrac12 -(-1) = tfrac12

Resposta

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