Use o Teorema de L’Hopital para calcular os limites abaixo
lim x 0 raizx ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+raizx,ln(x)
usando o Teorema de L’H^opital. O conte’udo aqui 'e tratar um produto que gera uma indetermina\c{c}~ao do tipo 0cdot(-infty).

Passo 2

Observamos que, quando xto0^+, temos raizxto0 e ln(x)to-infty, isto 'e, `e indetermina\c{c}~ao 0cdot(-infty). Para usar L’H^opital, reescrevemos como quociente:
raizx,ln(x) =ln(x),l(raizxr) =ln(x)1/raizx =ln(x)x^-1/2

Passo 3

Nesse quociente, quando xto0^+ a parte de cima tende a -infty e a de baixo a +infty, dando indetermina\c{c}~ao do tipo infty/infty. Podemos ent~ao aplicar o Teorema de L’H^opital.

Passo 4

Aplicando L’H^opital, derivamos numerador e denominador:
ddxl[ln(x)r]=1x, ddxl[x^-1/2r]=-,12,x^-3/2
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limxto0^+ln(x)x^-1/2 =limxto0^+tfrac1x-tfrac12,x^-3/2 =limxto0^+l(1xcdot-2x^-3/2r) =limxto0^+(-2,x^1/2)

Passo 5

Como x^1/2=raizxto0 quando xto0^+, segue que
limxto0^+(-2,raizx)=0.

Resposta

0

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