Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão que está escrita como
. Vou interpretar essa notação como as funções trigonométricas usuais, ou seja:
- o numerador é
(cosecante de ); - o denominador é
(cotangente de ).
Portanto o que precisamos calcular é
Passo 2
Lembrando as definições trigonométricas básicas que vamos usar:
- A cosecante é o inverso do seno:
. - A cotangente é o quociente do cosseno pelo seno:
.
Vou explicitar o que cada símbolo significa para você ficar à vontade na prova: em
o
é o argumento da função seno (ou seja, estamos olhando
e depois invertendo); em
o
é o argumento da função cosseno e seno no quociente.
Passo 3
Reescrevo a razão usando as definições:
Agora fazemos a divisão de duas frações (dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo seu inverso):
Passo 4
Simplificando a expressão obtemos
Esta é a forma em que vamos calcular o limite.
Passo 5
Vamos usar um resultado fundamental de limites para pequenas angulações:
Esse limite é a ferramenta padrão para limites trigonométricos quando o argumento tende a zero. Uma maneira prática de aplicar isso é reescrever razões de senos com fatores
multiplicando e dividindo adequadamente.
Um exemplo simples para treinar:
. Escreve-se
e como
, o limite total é
.
Passo 6
Voltemos à nossa expressão. Separe a parte
e a parte
:
Calculemos
. Usando o truque do fator
:
Aplicando o limite e sabendo que
(tanto para
quanto para
), obtemos
Agora a outra parte:
. Como
quando
, segue que
Multiplicando os resultados:
Passo 7
Portanto o limite pedido vale
. Você pode pensar intuitivamente que, para pequenos
,
e
, então a razão fica aproximadamente
(e o fator
tende a
), daí o
.