Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos e c 3 x}{\cot g 2 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 0 da expressão que está escrita como \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos e c 3 x}{\cot g 2 x}. Vou interpretar essa notação como as funções trigonométricas usuais, ou seja:
  • o numerador é \csc(3x) (cosecante de 3x);
  • o denominador é \cot(2x) (cotangente de 2x).
Portanto o que precisamos calcular é
\lim_{x\to 0}\frac{\csc(3x)}{\cot(2x)}.

Passo 2

Lembrando as definições trigonométricas básicas que vamos usar:
  • A cosecante é o inverso do seno: \csc t = \dfrac{1}{\sin t}.
  • A cotangente é o quociente do cosseno pelo seno: \cot t = \dfrac{\cos t}{\sin t}.
Vou explicitar o que cada símbolo significa para você ficar à vontade na prova: em \csc(3x) o 3x é o argumento da função seno (ou seja, estamos olhando \sin(3x) e depois invertendo); em \cot(2x) o 2x é o argumento da função cosseno e seno no quociente.

Passo 3

Reescrevo a razão usando as definições:
\frac{\csc(3x)}{\cot(2x)}=\frac{\dfrac{1}{\sin(3x)}}{\dfrac{\cos(2x)}{\sin(2x)}}.
Agora fazemos a divisão de duas frações (dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo seu inverso):
\frac{\dfrac{1}{\sin(3x)}}{\dfrac{\cos(2x)}{\sin(2x)}}=\frac{1}{\sin(3x)}\cdot\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}.

Passo 4

Simplificando a expressão obtemos
\frac{\sin(2x)}{\sin(3x)\cos(2x)}.
Esta é a forma em que vamos calcular o limite.

Passo 5

Vamos usar um resultado fundamental de limites para pequenas angulações:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Esse limite é a ferramenta padrão para limites trigonométricos quando o argumento tende a zero. Uma maneira prática de aplicar isso é reescrever razões de senos com fatores t multiplicando e dividindo adequadamente.
Um exemplo simples para treinar: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}. Escreve-se
\frac{\sin(5x)}{x}=\frac{\sin(5x)}{5x}\cdot 5,
e como \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{5x}=1, o limite total é 5.

Passo 6

Voltemos à nossa expressão. Separe a parte \dfrac{\sin(2x)}{\sin(3x)} e a parte \dfrac{1}{\cos(2x)}:
\frac{\sin(2x)}{\sin(3x)\cos(2x)}=\left(\frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}\right)\cdot\frac{1}{\cos(2x)}.
Calculemos \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}. Usando o truque do fator x:
\frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}=\frac{\sin(2x)}{2x}\cdot\frac{2x}{3x}\cdot\frac{3x}{\sin(3x)}.
Aplicando o limite e sabendo que \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1 (tanto para u=2x quanto para u=3x), obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(3x)} = 1\cdot\frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{2}{3}.
Agora a outra parte: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos(2x)}. Como \cos(2x)\to 1 quando x\to 0, segue que
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos(2x)}=\frac{1}{1}=1.
Multiplicando os resultados:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(3x)\cos(2x)}=\left(\frac{2}{3}\right)\cdot 1=\frac{2}{3}.

Passo 7

Portanto o limite pedido vale \dfrac{2}{3}. Você pode pensar intuitivamente que, para pequenos x, \sin(2x)\approx 2x e \sin(3x)\approx 3x, então a razão fica aproximadamente \dfrac{2x}{3x} (e o fator \cos(2x) tende a 1), daí o 2/3.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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