Determine as assíntotas vertical e horizontal das funções e esboce o gráfico.
\begin{aligned} & \text { a) } f(x)=\frac{x^{2}+2 x}{x^{2}-1} \\\ \end{aligned}
f(x)=\frac{x^{2}+2 x}{x^{2}-1}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado pede: determinar as assíntotas vertical e horizontal da função e esboçar o gráfico.
A função fornecida é f(x)=\dfrac{x^{2}+2x}{x^{2}-1}.
Informações úteis que temos já de cara:
  • O domínio são os reais onde o denominador não zera, isto é, pontos com x^{2}-1\neq0.
  • Precisamos encontrar possíveis assíntotas verticais (comportamento quando x tende a um ponto onde a função não está definida) e assíntota(s) horizontal(is) (comportamento quando x\to\pm\infty).
  • Também vamos usar fatoração para simplificar a análise.

Passo 2

Fatorar numerador e denominador e identificar pontos onde o denominador é zero.
x^{2}+2x = x(x+2), \qquad x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Como não há fator comum entre numerador e denominador, não há cancelamento (logo não há ponto removível): os zeros do denominador x=1 e x=-1 são candidatos a assíntotas verticais. O domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\\ x\neq 1\}.

Passo 3

Definir o que é assíntota vertical e como testá-la (pequena aula).
  • Uma reta vertical x=a é assíntota vertical de f se pelo menos uma das limites laterais \lim_{x\to a^-}f(x) ou \lim_{x\to a^+}f(x) for \pm\infty.
  • Para funções racionais sem cancelamento, normalmente isso ocorre em zeros do denominador.
Agora calculamos os limites laterais em x=1.
\lim_{x\to 1^+}\!f(x) = \lim_{x\to 1^+}\frac{x(x+2)}{(x-1)(x+1)}.
Avalie o sinal aproximado das partes:
  • x(x+2) em x\approx1 vale aproximadamente 1\cdot3=3>0.
  • (x-1) em x\to1^+ é pequeno e positivo; (x+1) em x\approx1 é \approx2>0. Então o produto do denominador é pequeno e positivo.
    Portanto o quociente tende a +\infty:
\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty.
Para o lado esquerdo,
  • em x\to1^- a parte (x-1) é pequena e negativa, (x+1) continua positiva; numerador em torno de 3>0. Denominador é pequeno e negativo, logo o quociente tende a -\infty:
\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty.
Assim x=1 é assíntota vertical.

Passo 4

Calcular os limites laterais em x=-1 (mesma ideia de sinais).
\lim_{x\to -1^+}f(x) = \lim_{x\to -1^+}\frac{x(x+2)}{(x-1)(x+1)}.
Avaliação aproximada:
  • Numerador em x\approx-1 é (-1)\cdot(1)=-1 (negativo).
  • Para x\to-1^+ temos (x+1) pequeno e positivo, e (x-1)\approx -2 negativo; produto do denominador é pequeno e negativo.
    Negativo sobre negativo dá positivo grande, logo
\lim_{x\to -1^+}f(x)=+\infty.
Para x\to-1^-:
  • Numerador continua aproximadamente -1 (negativo).
  • (x+1) é pequeno e negativo, (x-1) é negativo, produto do denominador é pequeno e positivo.
    Negativo sobre positivo dá -\infty, portanto
\lim_{x\to -1^-}f(x)=-\infty.
Assim x=-1 também é assíntota vertical.

Passo 5

Definir e encontrar assíntota horizontal (aula curta).
  • Uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to\infty}f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty}f(x)=L.
  • Para funções racionais, se os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Aqui ambos os polinômios têm grau 2 e coeficientes principais 1 (numerador) e 1 (denominador), logo a assíntota horizontal é
y=\frac{1}{1}=1.
Para ver de modo mais explícito, faça a divisão:
\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-1}=1+\frac{2x+1}{x^{2}-1}.
Como \dfrac{2x+1}{x^{2}-1}\to 0 quando x\to\pm\infty, conclui-se que
\lim_{x\to\infty}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to -\infty}f(x)=1,
portanto y=1 é assíntota horizontal. Observação adicional: para x\to+\infty o termo \dfrac{2x+1}{x^{2}-1}\sim \dfrac{2}{x}>0, então a função aproxima-se de 1 por cima; para x\to-\infty aproxima-se de 1 por baixo.

Passo 6

Coletar outros pontos e limites importantes para esboçar o gráfico (ajuda prática para desenhar).
  • Interceptos: resolver x(x+2)=0 x=0 e x=-2. Então pontos: f(0)=0 (origem) e f(-2)=0.
  • Alguns valores úteis: f(2)=\frac{4+4}{4-1}=\frac{8}{3}\approx 2{,}67, \qquad f(0{,}5)=\frac{0{,}25+1}{0{,}25-1}=\frac{1{,}25}{-0{,}75}\approx-1{,}667.
  • Limites já resumidos: \lim_{x\to -\infty}f(x)=1^-,\quad \lim_{x\to -1^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to -1^+}f(x)=+\infty,
\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to +\infty}f(x)=1^+.
Com isso já dá para esboçar: três ramos separados pelas verticais x=-1 e x=1.
  • Ramo esquerdo (-\infty,-1): parte perto de y=1 por baixo para x\to -\infty, desce até -\infty quando x\to -1^-.
  • Ramo central (-1,1): vem de +\infty em x=-1^+, cruza o eixo em x=-2? (atenção: x=-2 está fora desse intervalo) — corrigindo: o zero em x=-2 está no intervalo (-\infty,-1). No intervalo (-1,1) a função desce de +\infty em x=-1^+, passa por f(0)=0 e vai para -\infty quando x\to1^-.
  • Ramo direito (1,\infty): sai de +\infty em x=1^+, passa por f(2)=8/3 e aproxima-se de y=1 por cima quando x\to\infty.

Passo 7

Orientação prática para esboço (como desenhar à mão na prova):
  1. Trace as retas verticais x=-1 e x=1 (linhas tracejadas).
  2. Trace a reta horizontal y=1 (linha tracejada).
  3. Marque pontos conhecidos: (-2,0), (0,0), (2,\tfrac{8}{3}).
  4. Desenhe o ramo à esquerda passando por (-2,0), vindo de y=1^- à esquerda e caindo para -\infty em x\to -1^-.
  5. Desenhe o ramo central que sai de +\infty em x=-1^+, passa por (0,0) e vai para -\infty em x\to1^-.
  6. Desenhe o ramo direito que sai de +\infty em x=1^+, passa por (2,\tfrac{8}{3}) e se aproxima de y=1^+ quando x\to\infty.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-1,\\ x=1
Assíntota horizontal: y=1

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