Determine as assíntotas vertical e horizontal das funções e esboce o gráfico.
f(x)=\frac{x^{2}+2 x}{x^{2}-1}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado pede: determinar as assíntotas vertical e horizontal da função e esboçar o gráfico.
A função fornecida é
.
Informações úteis que temos já de cara:
- O domínio são os reais onde o denominador não zera, isto é, pontos com
. - Precisamos encontrar possíveis assíntotas verticais (comportamento quando
tende a um ponto onde a função não está definida) e assíntota(s) horizontal(is) (comportamento quando ). - Também vamos usar fatoração para simplificar a análise.
Passo 2
Fatorar numerador e denominador e identificar pontos onde o denominador é zero.
Como não há fator comum entre numerador e denominador, não há cancelamento (logo não há ponto removível): os zeros do denominador
e
são candidatos a assíntotas verticais. O domínio é
Passo 3
Definir o que é assíntota vertical e como testá-la (pequena aula).
- Uma reta vertical
é assíntota vertical de se pelo menos uma das limites laterais ou for . - Para funções racionais sem cancelamento, normalmente isso ocorre em zeros do denominador.
Agora calculamos os limites laterais em
.
Avalie o sinal aproximado das partes:
-
em vale aproximadamente . -
em é pequeno e positivo; em é . Então o produto do denominador é pequeno e positivo.
Portanto o quociente tende a:
Para o lado esquerdo,
- em
a parte é pequena e negativa, continua positiva; numerador em torno de . Denominador é pequeno e negativo, logo o quociente tende a :
Assim
é assíntota vertical.
Passo 4
Calcular os limites laterais em
(mesma ideia de sinais).
Avaliação aproximada:
- Numerador em
é (negativo). - Para
temos pequeno e positivo, e negativo; produto do denominador é pequeno e negativo.
Negativo sobre negativo dá positivo grande, logo
Para
:
- Numerador continua aproximadamente
(negativo). -
é pequeno e negativo, é negativo, produto do denominador é pequeno e positivo.
Negativo sobre positivo dá, portanto
Assim
também é assíntota vertical.
Passo 5
Definir e encontrar assíntota horizontal (aula curta).
- Uma reta horizontal
é assíntota horizontal se ou . - Para funções racionais, se os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Aqui ambos os polinômios têm grau
e coeficientes principais
(numerador) e
(denominador), logo a assíntota horizontal é
Para ver de modo mais explícito, faça a divisão:
Como
quando
, conclui-se que
portanto
é assíntota horizontal. Observação adicional: para
o termo
, então a função aproxima-se de
por cima; para
aproxima-se de
por baixo.
Passo 6
Coletar outros pontos e limites importantes para esboçar o gráfico (ajuda prática para desenhar).
- Interceptos: resolver
dá e . Então pontos: (origem) e . - Alguns valores úteis:
- Limites já resumidos:
Com isso já dá para esboçar: três ramos separados pelas verticais
e
.
- Ramo esquerdo
: parte perto de por baixo para , desce até quando . - Ramo central
: vem de em , cruza o eixo em ? (atenção: está fora desse intervalo) — corrigindo: o zero em está no intervalo . No intervalo a função desce de em , passa por e vai para quando . - Ramo direito
: sai de em , passa por e aproxima-se de por cima quando .
Passo 7
Orientação prática para esboço (como desenhar à mão na prova):
- Trace as retas verticais
e (linhas tracejadas). - Trace a reta horizontal
(linha tracejada). - Marque pontos conhecidos:
, , . - Desenhe o ramo à esquerda passando por
, vindo de à esquerda e caindo para em . - Desenhe o ramo central que sai de
em , passa por e vai para em . - Desenhe o ramo direito que sai de
em , passa por e se aproxima de quando .
Resposta
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal: