DETERMINE OS AUTOVALORES E OS AUTO VETORES DA MATRIZ
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os autovalores e os autovetores da matriz:
A = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0
Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Primeiro, precisamos achar os autovalores resolvendo a equação característica, que envolve o determinante da matriz A - lambda I , onde lambda são os autovalores e I é a matriz identidade.
Passo 2
Vamos montar a matriz A - lambda I . Subtraímos lambda nas entradas diagonais da matriz A :
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos [(A - \lambda I) \mathbf{v} = 0), onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo :
Da segunda equação, não temos informação. Da terceira, . Da primeira, . Então, pode ser qualquer valor. Podemos escolher . Portanto, um autovetor para é:
Para :
Resolvendo :
Isso resultará em um sistema de equações que nos dá o autovetor correspondente a . Após simplificar, encontramos:
Para :
Resolvendo :
Isso também resultará em um sistema de equações que nos dá o autovetor correspondente a . Após simplificar, encontramos:
Resposta
Os autovalores da matriz são lambda1 = 0 , lambda2 = i e lambda3 = -i . Os autovetores correspondentes são: