DETERMINE OS AUTOVALORES E OS AUTO VETORES DA MATRIZ [ccc0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os autovalores e os autovetores da matriz:
A = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0
Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Primeiro, precisamos achar os autovalores resolvendo a equação característica, que envolve o determinante da matriz A - lambda I , onde lambda são os autovalores e I é a matriz identidade.

Passo 2

Vamos montar a matriz A - lambda I . Subtraímos lambda nas entradas diagonais da matriz A :
A - lambda I = 0 - lambda & 0 & 1 0 & 0 - lambda & 0 -1 & 0 & 0 - lambda = -lambda & 0 & 1 0 & -lambda & 0 -1 & 0 & -lambda

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I . O determinante nos dará a equação característica:
det(A - lambda I) = -lambda & 0 & 1 0 & -lambda & 0 -1 & 0 & -lambda
Para calcular o determinante, podemos expandir pela segunda linha, já que ela tem um elemento não nulo apenas na posição (2,2):
det(A - lambda I) = -lambda cdot det -lambda & 1 -1 & -lambda = -lambda [(-lambda)(-lambda) - (1)(-1)] = -lambda (lambda^2 + 1)

Passo 4

A equação característica é igual a zero:
-lambda (lambda^2 + 1) = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os autovalores lambda :
-lambda (lambda^2 + 1) = 0 implies lambda = 0 ou lambda^2 + 1 = 0
Resolvendo lambda^2 + 1 = 0 :
lambda^2 = -1 implies lambda = pm i
Então, os autovalores são:
lambda1 = 0, lambda2 = i, lambda3 = -i

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos [(A - \lambda I) \mathbf{v} = 0), onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo :
Da segunda equação, não temos informação. Da terceira, . Da primeira, . Então, pode ser qualquer valor. Podemos escolher . Portanto, um autovetor para é:
Para :
Resolvendo :
Isso resultará em um sistema de equações que nos dá o autovetor correspondente a . Após simplificar, encontramos:
Para :
Resolvendo :
Isso também resultará em um sistema de equações que nos dá o autovetor correspondente a . Após simplificar, encontramos:

Resposta

Os autovalores da matriz são lambda1 = 0 , lambda2 = i e lambda3 = -i . Os autovetores correspondentes são:
v1 = 0 1 0 , v2 = 1 0 i , v3 = 1 0 - i

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