Uma circunferência tem seu centro no ponto C=(0,-2) e é tangente à reta L: 5 x-12 y+2=0 Encontrar sua equação.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência de centro C=(0,-2) que seja tangente à reta
L:5x - 12y + 2 = 0
Como a circunferência é tangente à reta, o raio r vale a distância do centro C até L. Depois, basta usar a forma padrão da equação de uma circunferência.

Passo 2

A distância de um ponto (x0,y0) à reta ax+by+c=0 é
d = |a x0 + b y0 + craiza^2 + b^2|
Aqui a=5, b=-12, c=2 e (x0,y0)=(0,-2). Então
d = |5cdot0 + (-12)cdot(-2) + 2raiz5^2 + (-12)^2| = |24 + 2raiz25 + 144| = 2613 = 2

Passo 3

Logo o raio da circunferência é
r = 2

Passo 4

A forma padrão da equação de uma circunferência de centro (x0,y0) e raio r é
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
Substituindo (x0,y0)=(0,-2) e r=2, obtemos
(x - 0)^2 + (y + 2)^2 = 2^2,
isto é,
x^2 + (y + 2)^2 = 4

Resposta

x^2 + (y + 2)^2 = 4

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