Q3- Determine os autovalores e os autovetores (normalizados) associados ao seguinte operador:
A=[rrr 3 & -1 & 1 -1 & 5 & -1 1 & -1 & 3 ]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores normalizados de
A = 3 & -1 & 1 -1 & 5 & -1 1 & -1 & 3
Como A é simétrica, sabemos que existem três autovalores reais e um sistema ortonormal de autovetores. Vamos encontrar dois autovetores por inspeção e usar a soma dos autovalores (traço) para achar o terceiro.

Passo 2

Testamos o vetor
v1 = 10-1
Calculando
A,v1 = 3cdot1 + (-1)cdot0 + 1cdot(-1) -1cdot1 + 5cdot0 + (-1)cdot(-1) 1cdot1 + (-1)cdot0 + 3cdot(-1) = 20-2 =2,v1,
logo lambda1=2.
De modo análogo, testamos
v2 = 1-21,
e obtemos
A,v2 = 6-126 =6,v2,
logo lambda2=6.

Passo 3

O traço de é
e vale . Assim
Para achar o autovetor associado a , resolvemos
As equações levam a , logo um autovetor é

Passo 4

Agora normalizamos cada autovetor:
|v1| = raiz1^2+0^2+(-1)^2=raiz2, |v2| = raiz1^2+(-2)^2+1^2=raiz6, |v3| = raiz1^2+1^2+1^2=raiz3
Assim os autovetores normalizados são
e1 = 1raiz210-1, e2 = 1raiz61-21, e3 = 1raiz3111

Resposta

lambda1=2,;e1=tfrac1raiz2(1,0,-1)^T
lambda2=6,;e2=tfrac1raiz6(1,-2,1)^T
lambda3=3,;e3=tfrac1raiz3(1,1,1)^T

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