Q2- Relação de comutação entre operadores: considere os seguintes operadores do momentum angular orbital:
L^2=Lx^2+Ly^2+Lz^2, Lx=y pz-widehatz py, Ly=widehatx pz-widehatz px e Lz=widehatx py-widehaty px. Demonstre as seguintes relações:
[L^2, Lz]=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador quadrado do momento angular orbital comuta com a componente z, ou seja,
[hat L^2,hat Lz]=0,
onde hat L^2=hat Lx^2+hat Ly^2+hat Lz^2. Vamos usar as propriedades de comutadores e a relação conhecida
[hat Li,hat Lj]=ihbar,varepsilonijk,hat Lk

Passo 2

Primeiro expandimos o comutador de hat L^2 com hat Lz usando linearidade:
[hat L^2,hat Lz] =[hat Lx^2+hat Ly^2+hat Lz^2,hat Lz] =[hat Lx^2,hat Lz]+[hat Ly^2,hat Lz]+[hat Lz^2,hat Lz]

Passo 3

Observamos que qualquer operador comuta consigo mesmo, logo
[hat Lz^2,hat Lz]=0
Resta, portanto, mostrar que
[hat Lx^2,hat Lz]+[hat Ly^2,hat Lz]=0

Passo 4

Usamos a identidade geral
[A^2,B]=A,[A,B]+[A,B],A,
válida para quaisquer operadores A e B. Aplicamos primeiro a A=hat Lx e B=hat Lz:
[hat Lx^2,hat Lz] =hat Lx,[hat Lx,hat Lz]+[hat Lx,hat Lz],hat Lx

Passo 5

Pela relação de comutação de componentes do momento angular, temos
[hat Lx,hat Lz]=ihbar,varepsilonx z k,hat Lk =ihbar,varepsilonxz y,hat Ly =ihbar,hat Ly
pois varepsilonxzy=+1. Assim
[hat Lx^2,hat Lz] =hat Lx,(ihbar,hat Ly)+(ihbar,hat Ly),hat Lx =ihbar,(hat Lxhat Ly+hat Lyhat Lx)

Passo 6

De modo análogo, para hat Ly^2:
[hat Ly,hat Lz] =ihbar,varepsilony z x,hat Lx =ihbar,(-hat Lx) =-,ihbar,hat Lx,
e então
[hat Ly^2,hat Lz] =hat Ly,(-ihbar,hat Lx)+(-ihbar,hat Lx),hat Ly =-,ihbar,(hat Lyhat Lx+hat Lxhat Ly)

Passo 7

Somando as duas contribuições:
[hat Lx^2,hat Lz]+[hat Ly^2,hat Lz] =ihbar(hat Lxhat Ly+hat Lyhat Lx) -,ihbar(hat Lyhat Lx+hat Lxhat Ly) =0
Portanto
[hat L^2,hat Lz] =[hat Lx^2,hat Lz]+[hat Ly^2,hat Lz]+[hat Lz^2,hat Lz] =0+0=0

Resposta

[hat L^2,hat Lz]=0

Exercícios relacionados