Q2- Relação de comutação entre operadores: considere os seguintes operadores do momentum angular orbital:
,
e
. Demonstre as seguintes relações:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador quadrado do momento angular orbital comuta com a componente
, ou seja,
onde
. Vamos usar as propriedades de comutadores e a relação conhecida
Passo 2
Primeiro expandimos o comutador de
com
usando linearidade:
Passo 3
Observamos que qualquer operador comuta consigo mesmo, logo
Resta, portanto, mostrar que
Passo 4
Usamos a identidade geral
válida para quaisquer operadores
e
. Aplicamos primeiro a
e
:
Passo 5
Pela relação de comutação de componentes do momento angular, temos
pois
. Assim
Passo 6
De modo análogo, para
:
e então
Passo 7
Somando as duas contribuições:
Portanto