Q1- Números complexos: prove as seguintes propriedades da conjunção:
Para todo
.
Para todo
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo número complexo
zneq 0 , vale
Vamos usar a forma algébrica de
z , a definição de recíproco e as propriedades da conjugação e do módulo.
Passo 2
Escreva
com
x,yinR e
zneq 0 . Então a conjugada é
e o módulo ao quadrado satisfaz
Passo 3
Pela definição de inverso de um complexo,
Passo 4
Agora conjugue ambos os lados. Como
|z|^2 é real,
|z|^2=|z|^2 . Assim,
Passo 5
Por outro lado, o recíproco de
bar z é
Passo 6
Comparando as duas expressões obtidas para
1/z e para
1/bar z , vemos que ambas são iguais a
z|z|^2 . Logo,