Q1- Números complexos: prove as seguintes propriedades da conjunção:
Para todo z neq 0, 1 / z=1 / barz.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo número complexo zneq 0, vale
1z ;=;1bar z
Vamos usar a forma algébrica de z, a definição de recíproco e as propriedades da conjugação e do módulo.

Passo 2

Escreva
z = x + iy,
com x,yinR e zneq 0. Então a conjugada é
bar z = x - iy
e o módulo ao quadrado satisfaz
|z|^2 = z,bar z

Passo 3

Pela definição de inverso de um complexo,
1z ;=;bar zz,bar z ;=;bar z|z|^2

Passo 4

Agora conjugue ambos os lados. Como |z|^2 é real, |z|^2=|z|^2. Assim,
1z =bar z,/,|z|^2 =;z,/,|z|^2

Passo 5

Por outro lado, o recíproco de bar z é
1bar z =zbar z,z =z|z|^2

Passo 6

Comparando as duas expressões obtidas para 1/z e para 1/bar z, vemos que ambas são iguais a z|z|^2. Logo,
1z ;=;1bar z

Resposta

1z = 1bar z

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