Q3- Determine os autovalores e os autovetores (normalizados) associados ao seguinte operador:
A=[rrr 4 & -2 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e os autovetores normalizados do operador
A = 4 & -2 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 1 & 2
Estamos em Álgebra Linear: primeiro calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0, depois resolvemos (A-lambda I)v=0 para cada lambda e, por fim, normalizamos cada vetor próprio.

Passo 2

Calculemos
det(A - lambda I) = det 4-lambda & -2 & 0 -1 & 1-lambda & 0 0 & 1 & 2-lambda
Expansão pela terceira coluna dá
det(A - lambda I) =(2-lambda),det4-lambda & -2-1 & 1-lambda =(2-lambda)l[(4-lambda)(1-lambda)-2r]
Como (4-lambda)(1-lambda)-2=lambda^2-5lambda+2, o polinômio característico é
(2-lambda)(lambda^2-5lambda+2)=0,
cujas raízes são
lambda1=2, lambda2,3=5pmraiz25-82 =5pmraiz172

Passo 3

Para lambda1=2, temos
A-2I=2&-2&0-1&-1&00&1&0
e o sistema (A-2I)(x,y,z)^T=0 leva a x=0, y=0 e z livre. Um vetor próprio é
v1=(0,0,1)
Como |v1|=1, ele já está normalizado.

Passo 4

Para lambda=lambda2,3neq2, do sistema
(A-lambda I)(x,y,z)^T=0
a terceira equação dá y+(2-lambda)z=0, ou seja y=(lambda-2)z. Da segunda equação -x+(1-lambda)y=0 segue
x=(1-lambda)y=(1-lambda)(lambda-2)z
Tomando a conveniência z=1, obtemos um vetor próprio genérico
v=(x,y,1) =l((1-lambda)(lambda-2),,lambda-2,,1r)
Substituindo lambda2=5+raiz172
u2=l(-5-raiz17,,tfrac1+raiz172,,1r),
e substituindo lambda3=5-raiz172
u3=l(-5+raiz17,,tfrac1-raiz172,,1r)

Passo 5

Calculemos as normas ao multiplicar por 2 para eliminar frações no segundo componente:
u2'=l(-10-2raiz17,,1+raiz17,,2r), u3'=l(-10+2raiz17,,1-raiz17,,2r)
Dois cálculos mostram
|u2'|^2=190+42raiz17, |u3'|^2=190-42raiz17
Logo os vetores normalizados são
v2=1raiz190+42raiz17,u2', v3=1raiz190-42raiz17,u3'

Resposta

Os autovalores são
lambda1=2, lambda2=5+raiz172, lambda3=5-raiz172
Os autovetores normalizados correspondentes são
v1=(0,0,1)^T,
v2=1raiz190+42raiz17,l(-10-2raiz17,,1+raiz17,,2r)^T,
v3=1raiz190-42raiz17,l(-10+2raiz17,,1-raiz17,,2r)^T

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