Q4- Dadas as seguintes autofunções:
psi1(x)=exp (i k x), psi2(x)=R exp (-i k x) e
psi3(x)=T exp (i k x).
Neste caso, R e T são quantidades independentes da variável x.
a) Calcule as correntes de probabilidades: j1(x), j2(x) e j3(x) respectivamente.
b) Com respeito ao problema do poço de potencial (Localizado) da mecânica quântica, interprete as razões: j3(x) / j1(x) e j2(x) / j1(x).

Passo 1

O enunciado apresenta três autofunções planas
psi1(x)=exp(i k x), psi2(x)=R,exp(-i k x) e psi3(x)=T,exp(i k x),
e pede o cálculo das correntes de probabilidade j1(x), j2(x) e j3(x), além da interpretação das razões j3/j1 e j2/j1 no contexto de espalhamento num poço de potencial localizado.

Passo 2

A definição geral da corrente de probabilidade em mecânica quântica é
j(x) ;=; hbar2,m,il[psi^*(x),dpsi(x)dx;-;psi(x),dpsi^*(x)dxr],

Passo 3

Para psi1(x)=exp(i k x) temos
psi1^*(x)=exp(-i k x) e dpsi1dx=i k,exp(i k x).
Substituindo na definição:
j1(x)=hbar2,m,il[e^-i k x(i k e^i k x)-e^i k x(-i k e^-i k x)r] =hbar km,

Passo 4

Para psi2(x)=R,e^-i k x temos
psi2^*(x)=R^* e^i k x e dpsi2dx=-i k,R,e^-i k x.
Logo
j2(x)=hbar2,m,il[R^* e^i k x(-i k R e^-i k x) - R e^-i k x(i k R^* e^i k x)r] =-hbar k,|R|^2m,

Passo 5

Para psi3(x)=T,e^i k x temos
psi3^*(x)=T^* e^-i k x e dpsi3dx=i k,T,e^i k x.
Assim
j3(x)=hbar2,m,il[T^* e^-i k x(i k T e^i k x) - T e^i k x(-i k T^* e^-i k x)r] =hbar k,|T|^2m,

Passo 6

Calculando as razões entre correntes:
j3j1 =hbar k,|T|^2/mhbar k/m =|T|^2 , j2j1 =-hbar k,|R|^2/mhbar k/m =-|R|^2,
Fisicamente, j3j1=|T|^2 é o coeficiente de transmissão (probabilidade de atravessar o poço) e l|j2j1r|=|R|^2 é o coeficiente de reflexão (probabilidade de voltar). O sinal negativo em j2/j1 indica que o fluxo refletido se dá na direção oposta ao incidente.

Resposta

j1=dfrachbar km,
j2=-dfrachbar k,|R|^2m,
j3=dfrachbar k,|T|^2m.
dfracj3j1=|T|^2 (transmissão),
dfracj2j1=-|R|^2 (reflexão, magnitude =|R|^2).

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