Determine os autovalores e autovetores do operador T: R^3 R^3 dado por T(X)=A X, forall X in R^3, em que
A=(lll 2 & 0 & 1 2 & 1 & 2 1 & 0 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear T: R^3 R^3 definido pela matriz
A = 2 & 0 & 1 2 & 1 & 2 1 & 0 & 2
Isso envolve entender conceitos de álgebra linear, como autovalores (valores que indicam como o operador estica os vetores) e autovetores (os próprios vetores que são apenas esticados ou encolhidos pelo operador, sem mudar de direção). Vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz A e resolver para encontrar os autovalores. Depois, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Isso significa resolver a equação determinante:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, lambda representa o autovalor e I é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 1 2 & 1 - lambda & 2 1 & 0 & 2 - lambda

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det 1 - lambda & 2 0 & 2 - lambda - 0 cdot det 2 & 2 1 & 2 - lambda + 1 cdot det 2 & 1 - lambda 1 & 0
Simplificando:
= (2 - lambda)[(1 - lambda)(2 - lambda) - (2)(0)] + 0 + 1[(2)(0) - (1 - lambda)(1)]
= (2 - lambda)(2 - 3lambda + lambda^2) - (1 - lambda)
= (2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2) - (1 - lambda)
= (2)(lambda^2 - 3lambda + 2) - lambda(lambda^2 - 3lambda + 2) - 1 + lambda
= 2lambda^2 - 6lambda + 4 - lambda^3 + 3lambda^2 - 2lambda - 1 + lambda
= -lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3

Passo 5

Agora, temos a equação característica:
-lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os autovalores. Podemos tentar valores inteiros que sejam fatores de 3 (termo constante), ou seja, lambda = 1, 3 .
Testando lambda = 1 :
-(1)^3 + 5(1)^2 - 7(1) + 3 = -1 + 5 - 7 + 3 = 0
Então, lambda = 1 é um autovalor.

Passo 6

Fatorando lambda = 1 da equação característica:
-lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3 = (lambda - 1)(- lambda^2 + 4lambda - 3) = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática:
- lambda^2 + 4lambda - 3 = 0 Rightarrow lambda^2 - 4lambda + 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 Rightarrow lambda = 3 ou lambda = 1
Então, temos os autovalores lambda1 = 1 (com multiplicidade 2) e lambda2 = 3 .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para [\lambda = 1):
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Observamos que é livre.
Então, podemos escolher e , onde é qualquer número real.
Portanto, os autovetores são da forma:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Da primeira e terceira equação, temos (x = z].
Substituindo na segunda equação:
Então, podemos escolher , o que dá e .
Portanto, um autovetor para é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores do operador T são:
  • Autovalor lambda = 1 :
v = -1 t 1 , t in R
Ou seja, qualquer vetor da forma (-1, t, 1), onde t é um número real.
  • Autovalor lambda = 3 :
v = 1 2 1

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