Considere as bases alpha=(0,3,0),(-1,0,0),(0,1,1) de R^3 e beta=(1,1),(0,1) de R^2. Encontre a aplicação linear T: R^2 R^3 cuja matriz que representa T é dada por:
[T]alpha^beta=(cc 0 & 2 -1 & 0 -1 & 3 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar uma aplicação linear T: R^2 R^3 . Para isso, a gente recebeu duas bases:
  • Base alpha para R^3: alpha = (0,3,0), (-1,0,0), (0,1,1)
  • Base beta para R^2: beta = (1,1), (0,1)
E também a matriz que representa T em relação a essas bases:
[T]alpha^beta = 0 & 2 -1 & 0 -1 & 3
Nosso objetivo é encontrar a aplicação linear T no sistema padrão, ou seja, sem considerar essas bases específicas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e como transformar a matriz de T para as bases padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz [T]alpha^beta. Essa matriz relaciona a aplicação linear T entre os espaços R^2 e R^3 considerando as bases beta no domínio e alpha no contradomínio.
Para encontrar a matriz de T no sistema padrão, precisamos fazer a conversão dessa matriz usando as bases dadas. Isso envolve encontrar as matrizes de mudança de base para beta e alpha.

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base para beta, que chamaremos de Pbeta . Essa matriz tem como colunas os vetores da base beta escritos nas coordenadas padrão.
Então,
Pbeta = 1 & 0 1 & 1
Agora, precisamos encontrar a inversa dessa matriz, Pbeta^-1 , porque vamos usá-la para converter as coordenadas da base beta para o sistema padrão.
Calculando a inversa:
Pbeta^-1 = 1 & 0 -1 & 1

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base para alpha, chamada Palpha . Assim como fizemos com beta, as colunas de Palpha são os vetores da base alpha nas coordenadas padrão.
Então,
Palpha = 0 & -1 & 0 3 & 0 & 1 0 & 0 & 1
Essa matriz vai nos ajudar a converter a aplicação T de volta para as coordenadas padrão.

Passo 5

Agora que temos Palpha e Pbeta^-1 , podemos encontrar a matriz de T no sistema padrão, que vamos chamar de [T] .
A relação entre as matrizes é dada por:
[T] = Palpha cdot [T]alpha^beta cdot Pbeta^-1
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 6

Primeiro, multiplicamos Palpha pela matriz [T]alpha^beta :
Palpha cdot [T]alpha^beta = 0 & -1 & 0 3 & 0 & 1 0 & 0 & 1 cdot 0 & 2 -1 & 0 -1 & 3
Calculando essa multiplicação:
Palpha cdot [T]alpha^beta = (0)(0) + (-1)(-1) + (0)(-1) & (0)(2) + (-1)(0) + (0)(3) (3)(0) + (0)(-1) + (1)(-1) & (3)(2) + (0)(0) + (1)(3) (0)(0) + (0)(-1) + (1)(-1) & (0)(2) + (0)(0) + (1)(3)
Simplificando:
Palpha cdot [T]alpha^beta = 1 & 0 -1 & 9 -1 & 3

Passo 7

Agora, vamos multiplicar o resultado acima pela inversa de Pbeta :
[T] = 1 & 0 -1 & 9 -1 & 3 cdot 1 & 0 -1 & 1
Fazendo essa multiplicação:
[T] = (1)(1) + (0)(-1) & (1)(0) + (0)(1) (-1)(1) + (9)(-1) & (-1)(0) + (9)(1) (-1)(1) + (3)(-1) & (-1)(0) + (3)(1)
Simplificando:
[T] = 1 & 0 -10 & 9 -4 & 3

Resposta

A aplicação linear T: R^2 R^3 no sistema padrão é dada por:
T(x) = 1 & 0 -10 & 9 -4 & 3 x1 x2 = 1 cdot x1 + 0 cdot x2 -10 cdot x1 + 9 cdot x2 -4 cdot x1 + 3 cdot x2
Ou seja,
T(x1, x2) = (x1, -10x1 + 9x2, -4x1 + 3x2)

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