Considere as bases de e de . Encontre a aplicação linear cuja matriz que representa é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar uma aplicação linear T: R^2 R^3 . Para isso, a gente recebeu duas bases:
Base alpha para R^3: alpha = (0,3,0), (-1,0,0), (0,1,1)
Base beta para R^2: beta = (1,1), (0,1)
E também a matriz que representa T em relação a essas bases:
[T]alpha^beta = 0 & 2 -1 & 0 -1 & 3
Nosso objetivo é encontrar a aplicação linear T no sistema padrão, ou seja, sem considerar essas bases específicas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e como transformar a matriz de T para as bases padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a matriz [T]alpha^beta. Essa matriz relaciona a aplicação linear T entre os espaços R^2 e R^3 considerando as bases beta no domínio e alpha no contradomínio.
Para encontrar a matriz de T no sistema padrão, precisamos fazer a conversão dessa matriz usando as bases dadas. Isso envolve encontrar as matrizes de mudança de base para beta e alpha.
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base para beta, que chamaremos de Pbeta . Essa matriz tem como colunas os vetores da base beta escritos nas coordenadas padrão.
Então,
Pbeta = 1 & 0 1 & 1
Agora, precisamos encontrar a inversa dessa matriz, Pbeta^-1 , porque vamos usá-la para converter as coordenadas da base beta para o sistema padrão.
Calculando a inversa:
Pbeta^-1 = 1 & 0 -1 & 1
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base para alpha, chamada Palpha . Assim como fizemos com beta, as colunas de Palpha são os vetores da base alpha nas coordenadas padrão.
Então,
Palpha = 0 & -1 & 0 3 & 0 & 1 0 & 0 & 1
Essa matriz vai nos ajudar a converter a aplicação T de volta para as coordenadas padrão.
Passo 5
Agora que temos Palpha e Pbeta^-1 , podemos encontrar a matriz de T no sistema padrão, que vamos chamar de [T] .
A relação entre as matrizes é dada por:
[T] = Palpha cdot [T]alpha^beta cdot Pbeta^-1
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Passo 6
Primeiro, multiplicamos Palpha pela matriz [T]alpha^beta :