Determine os autovalores e os autovetores do operador linear
de
definido por
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores
e autovetores
do operador linear
O conteúdo usado será a definição de autovalor/autovetor, ou seja, resolver
para
de grau
.
Passo 2
Seja um polinômio qualquer de grau
Então
Logo
Passo 3
A condição de autovetor é
isto é
Comparando coeficientes de
obtemos o sistema
Se
, da primeira equação vem
e daí por diante
, que é a solução trivial. Logo não há autovetores não nulos para
.
Passo 4
A única possibilidade não-trivial é
. Substituindo
no sistema:
resulta em
,
,
e
livre. Assim
com
, são os autovetores.
Resposta
O único autovalor é
(multiplicidade algébrica 4) e seus autovetores são exatamente os polinômios constantes não nulos
.