Determine os autovalores e os autovetores do operador linear L de P_{3}(\mathbb{R}) definido por L(p)=p^{\prime}+p^{\prime \prime}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores \lambda e autovetores p\in P_{3}(\mathbb{R}) do operador linear
L(p)=p'+p''.
O conteúdo usado será a definição de autovalor/autovetor, ou seja, resolver
L(p)=\lambda p
para p de grau \le3.

Passo 2

Seja um polinômio qualquer de grau \le3 p(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d.
Então
p'(x)=3a x^2 + 2b x + c, \quad p''(x)=6a x + 2b.
Logo
L(p)=p'+p''=3a x^2 + (6a+2b)x + (2b+c).

Passo 3

A condição de autovetor é
L(p)=\lambda p,
isto é
3a x^2 + (6a+2b)x + (2b+c) =\lambda\bigl(a x^3 + b x^2 + c x + d\bigr).
Comparando coeficientes de x^3,x^2,x,1 obtemos o sistema
\lambda a = 0, \quad 3a = \lambda b, \quad 6a+2b = \lambda c, \quad 2b+c = \lambda d.
Se \lambda\neq0, da primeira equação vem a=0 e daí por diante b=c=d=0, que é a solução trivial. Logo não há autovetores não nulos para \lambda\neq0.

Passo 4

A única possibilidade não-trivial é \lambda=0. Substituindo \lambda=0 no sistema:
0\cdot a=0,\quad 3a=0,\quad 6a+2b=0,\quad 2b+c=0
resulta em a=0, b=0, c=0 e d livre. Assim
p(x)=d,
com d\neq0, são os autovetores.

Resposta

O único autovalor é \lambda=0 (multiplicidade algébrica 4) e seus autovetores são exatamente os polinômios constantes não nulos p(x)=d.

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