Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de operadores lineares “diagonalizáveis” tais que:
(b) T do \mathbb{R}^{3} cuja imagem é gerada por (1,1,0) e (0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede um operador linear \displaystyle T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
que seja diagonalizável e tal que \mathrm{Im}(T)=\text{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\}.
Para construir um T diagonalizável, vamos escolher três autovetores que formem base de \mathbb{R}^3, dois deles gerando a imagem (com autovalor não nulo) e um fora desse plano gerando o núcleo (com autovalor zero).

Passo 2

Escolhemos como autovetores correspondentes a autovalor \lambda=1:
v_1=(1,1,0),\quad v_2=(0,1,1),
pois queremos que \mathrm{Im}(T)=\text{span}\{v_1,v_2\}.
Em seguida, precisamos de um vetor v_3 que não pertença a esse plano; por exemplo
v_3=(1,0,0).
Verificamos que \{v_1,v_2,v_3\} é base de \mathbb{R}^3 (determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é 2\neq0).

Passo 3

Definimos T de modo que esses vetores sejam autovetores:
T(v_1)=1\cdot v_1,\quad T(v_2)=1\cdot v_2,\quad T(v_3)=0\cdot v_3.
Assim, na base \{v_1,v_2,v_3\} a matriz de T é diagonal
D=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix},
logo T é diagonalizável por construção.

Passo 4

Como T(v_1)=v_1 e T(v_2)=v_2, todo vetor de \text{span}\{v_1,v_2\} é atingido (imagem igual a esse plano), e como T(v_3)=0 temos \dim\ker T=1. Portanto
\mathrm{Im}(T)=\text{span}\{v_1,v_2\}=\text{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\},
exatamente o que se pedia.

Resposta

Por exemplo, defina T exigindo
T(1,1,0)=(1,1,0),\quad T(0,1,1)=(0,1,1),\quad T(1,0,0)=(0,0,0).
Então T é diagonalizável (autovalores 1,1,0) e \mathrm{Im}(T)=\text{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\}.

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