Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de operadores lineares “diagonalizáveis” tais que:
(a)
do
cujo núcleo é gerado por
.
(a)
Passo 1
Estamos procurando um operador linear
que seja diagonalizável e cujo núcleo seja exatamente
Como
, por Teorema da Dimensão,
. Para ser diagonalizável, vamos escolher três autovetores linearly independentes com autovalores distintos ou com multiplicidade algébrica igual à geométrica.
Passo 2
Escolhemos como autovetor associado ao autovalor
aquele que gera o núcleo:
Agora precisamos de dois autovetores independentes adicionais, digamos
Como
é base de
e os autovalores
são distintos,
é diagonalizável.
Passo 3
Para descobrir a fórmula de
no sistema canônico, escrevemos um vetor genérico
como combinação
Temos
Dessas equações obtemos
Passo 4
Agora aplicamos
via
. Logo
Em termos matriciais (base canônica)
Verificamos facilmente que
satisfaz
e
, ou seja
, e que a matriz é diagonalizável com autovalores
.]
Resposta
Por exemplo, defina
por
Então
e
é diagonalizável (autovalores
).