Determine os autovalores e os autovetores de um operador linear T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cuja representação matricial em alguma base de \mathbb{R}^{2} seja: A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede que eu determine os autovalores e os autovetores de um operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} cuja matriz, em alguma base, é
Informações relevantes dadas: \;1) A matriz A está definida por seus elementos: primeira linha (2,0) e segunda linha (1,1).\n \;2) Preciso encontrar todos os escalares \lambda (autovalores) e, para cada \lambda, todos os vetores não nulos v\in\mathbb{R}^2 tais que T(v)=\lambda v (autovetores).]
Passo 2
O que vamos usar (sem ainda fazer as contas): para achar autovalores de uma matriz A de ordem 2 calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2 e \lambda é o escalar desconhecido. Para cada \lambda obtido, achamos autovetores resolvendo o sistema linear
(A-\lambda I)v=0,
com v\neq0. Agora eu explico passo a passo cada fórmula e por que ela funciona.
Passo 3
Aula rápida e prática sobre as fórmulas usadas: \;1) A definição: um autovalor \lambda e um autovetor v\neq0 satisfazem Av=\lambda v. Reescrevendo, (A-\lambda I)v=0. Isso é um sistema homogêneo que tem solução não trivial somente quando a matriz A-\lambda I é singular, i.e., quando seu determinante é zero.\n \;2) Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aplicamos isso a A-\lambda I. Vamos calcular explicitamente.
O sistema (A-I)\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 é
\begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y =0,\\[4pt] 1\cdot x + 0\cdot y =0. \end{cases}
Ambas as equações dizem x=0\]. Não há restrição sobre \(y, então y é parâmetro livre. Logo os autovetores associados a \lambda=1 são todos os vetores da forma