Determine os autovalores e os autovetores de um operador linear T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cuja representação matricial em alguma base de \mathbb{R}^{2} seja:
A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu determine os autovalores e os autovetores de um operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} cuja matriz, em alguma base, é
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
\;1) A matriz A está definida por seus elementos: primeira linha (2,0) e segunda linha (1,1).\n
\;2) Preciso encontrar todos os escalares \lambda (autovalores) e, para cada \lambda, todos os vetores não nulos v\in\mathbb{R}^2 tais que T(v)=\lambda v (autovetores).]

Passo 2

O que vamos usar (sem ainda fazer as contas): para achar autovalores de uma matriz A de ordem 2 calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2 e \lambda é o escalar desconhecido. Para cada \lambda obtido, achamos autovetores resolvendo o sistema linear
(A-\lambda I)v=0,
com v\neq0. Agora eu explico passo a passo cada fórmula e por que ela funciona.

Passo 3

Aula rápida e prática sobre as fórmulas usadas:
\;1) A definição: um autovalor \lambda e um autovetor v\neq0 satisfazem Av=\lambda v. Reescrevendo, (A-\lambda I)v=0. Isso é um sistema homogêneo que tem solução não trivial somente quando a matriz A-\lambda I é singular, i.e., quando seu determinante é zero.\n
\;2) Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aplicamos isso a A-\lambda I. Vamos calcular explicitamente.

Passo 4

Formulemos A-\lambda I e o determinante:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\[4pt] 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Usando a regra do determinante para 2\times2,
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(1-\lambda)-0\cdot 1=(2-\lambda)(1-\lambda).
O polinômio característico é portanto
(2-\lambda)(1-\lambda)=0.]

Passo 5

Resolvendo o polinômio característico para obter os autovalores:
(2-\lambda)(1-\lambda)=0
implica que
\lambda=2\quad\text{ou}\quad \lambda=1.
Ambos aparecem como raízes simples do polinômio (multiplicidade algébrica 1 cada).

Passo 6

Agora, para cada autovalor [\lambda), encontro os autovetores resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Caso \lambda=1:
A-I=\begin{pmatrix}2-1 & 0\\[4pt] 1 & 1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
O sistema (A-I)\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 é
\begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y =0,\\[4pt] 1\cdot x + 0\cdot y =0. \end{cases}
Ambas as equações dizem x=0\]. Não há restrição sobre \(y, então y é parâmetro livre. Logo os autovetores associados a \lambda=1 são todos os vetores da forma
\begin{pmatrix}0\\[4pt] t\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Um gerador conveniente (vetor base) é \begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Caso \lambda=2\): \[A-2I=\begin{pmatrix}2-2 & 0\\[4pt] 1 & 1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
O sistema (A-2I)\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 é
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y =0,\\[4pt] 1\cdot x -1\cdot y =0. \end{cases}
A primeira equação é trivial; a segunda dá x=y\]. Assim os autovetores associados a \(\lambda=2 são todos os vetores da forma
\begin{pmatrix}t\\[4pt] t\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Um gerador conveniente é \begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Cheque rápido (para ganhar confiança): apliquei A sobre os geradores encontrados:
A\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 0+0\cdot 1\\[4pt] 1\cdot 0+1\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix},
A\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 1+0\cdot 1\\[4pt] 1\cdot 1+1\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 2\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Confere: vetores realmente são autovetores com os autovalores correspondentes.]

Resposta

\lambda=2: autovetores \mathrm{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}\right\}\n
\lambda=1: autovetores \mathrm{span}\!\left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix}\right\}]

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