Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a matriz dada: o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços (espaços próprios) associados. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & -2 & 3\end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos agora:
  • Precisamos calcular \det(A-\lambda I) para obter o polinômio característico.
  • Depois, para cada autovalor \lambda encontrado, devemos resolver (A-\lambda I)v=0 para obter o(s) vetor(es) próprios e descrever o autoespaço (o núcleo de A-\lambda I).]

Passo 2

O que é o polinômio característico e por que calculamos \det(A-\lambda I).
  • Definição: o polinômio característico de uma matriz A é p(\lambda)=\det(A-\lambda I). Aqui I é a matriz identidade 3\times3 e \lambda é uma variável (o escalar).
  • Interpretação: os autovalores são as raízes de p(\lambda), ou seja, os valores de \lambda que fazem \det(A-\lambda I)=0.
    Montamos então a matriz A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 & 2 \\[4pt] 0 & 1-\lambda & 0 \\[4pt] 0 & -2 & 3-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o determinante \det(A-\lambda I) passo a passo.
  • Observação prática: a primeira coluna de A-\lambda I tem dois zeros, então é conveniente expandir o determinante pela primeira coluna (regra de Laplace). Assim só o elemento (1,1) contribui:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 \\[4pt] -2 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
  • Calcule o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 \\[4pt] -2 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(3-\lambda)-0\cdot(-2)=(1-\lambda)(3-\lambda).
  • Portanto o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\,(1-\lambda)(3-\lambda)=(1-\lambda)^2(3-\lambda).]

Passo 4

Identificar os autovalores e suas multiplicidades algébricas.
  • As raízes de p(\lambda)=(1-\lambda)^2(3-\lambda) são \lambda=1 (raiz dupla, multiplicidade algébrica 2) e \lambda=3 (multiplicidade algébrica 1).
  • Então os autovalores são \lambda=1 e \lambda=3.

Passo 5

Explicar o que é o autoespaço e como encontrá-lo.
  • Para um autovalor \lambda, o autoespaço associado é \ker(A-\lambda I)=\{v\in\mathbb{R}^3:\\ (A-\lambda I)v=0\}.
  • Para encontrá-lo resolvemos o sistema linear homogêneo (A-\lambda I)v=0 (fazendo eliminação de Gauss ou resolvendo as equações resultantes). Vamos fazer isso para cada \lambda.

Passo 6

Encontrar o autoespaço para \lambda=1.
  • Monte A-I:
A-I=\begin{pmatrix}0 & -1 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -2 & 2\end{pmatrix}.
  • Escrevendo o sistema (A-I)(x_1,x_2,x_3)^T=0 em equações:
    • Primeira equação: -x_2+2x_3=0.
    • Segunda equação: 0=0 (não dá informação).
    • Terceira equação: -2x_2+2x_3=0.
  • Simplifique as duas equações úteis:
    • Da primeira: x_2=2x_3.
    • Da terceira: dividindo por -2: x_2=x_3.
  • Juntando as duas igualdades x_2=2x_3 e x_2=x_3 obtemos x_3=0, e então x_2=0.
  • Não há equação envolvendo x_1, então x_1 é livre (podemos chamá-lo de parâmetro t\in\mathbb{R}).
  • Assim os vetores próprios associados a \lambda=1 têm a forma (x_1,x_2,x_3)=(t,0,0)=t(1,0,0).
  • Logo o autoespaço é \ker(A-I)=\text{span}\{(1,0,0)\}, que tem dimensão 1.
  • Observação importante (útil na prova): a multiplicidade geométrica de \lambda=1 (dimensão do autoespaço) é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2. Isso indica que a matriz não é diagonalizável.]

Passo 7

Encontrar o autoespaço para \lambda=3.
  • Monte A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix}-2 & -1 & 2 \\[4pt] 0 & -2 & 0 \\[4pt] 0 & -2 & 0\end{pmatrix}.
  • Escrevendo o sistema (A-3I)(x_1,x_2,x_3)^T=0:
    • Primeira equação: -2x_1 - x_2 + 2x_3 = 0.
    • Segunda equação: -2x_2 = 0 x_2=0.
    • Terceira equação é igual à segunda (não traz novidade).
  • Substitua x_2=0 na primeira: -2x_1 + 2x_3 = 0 x_1 = x_3.
  • Tome x_3 como parâmetro t. Assim (x_1,x_2,x_3)=(t,0,t)=t(1,0,1).
  • Portanto o autoespaço é \ker(A-3I)=\text{span}\{(1,0,1)\}, de dimensão 1.]

Resposta

p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^2(3-\lambda)
Autovalores: \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2), \lambda=3 (multiplicidade algébrica 1)
Autoespaços: \ker(A-I)=\text{span}\{(1,0,0)\} \n \ker(A-3I)=\text{span}\{(1,0,1)\}

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