Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes: \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a matriz dada: o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços (espaços próprios) associados. A matriz fornecida é
Precisamos calcular \det(A-\lambda I) para obter o polinômio característico.
Depois, para cada autovalor \lambda encontrado, devemos resolver (A-\lambda I)v=0 para obter o(s) vetor(es) próprios e descrever o autoespaço (o núcleo de A-\lambda I).]
Passo 2
O que é o polinômio característico e por que calculamos \det(A-\lambda I).
Definição: o polinômio característico de uma matriz A é p(\lambda)=\det(A-\lambda I). Aqui I é a matriz identidade 3\times3 e \lambda é uma variável (o escalar).
Interpretação: os autovalores são as raízes de p(\lambda), ou seja, os valores de \lambda que fazem \det(A-\lambda I)=0.
Montamos então a matriz A-\lambda I:
Calcular o determinante \det(A-\lambda I) passo a passo.
Observação prática: a primeira coluna de A-\lambda I tem dois zeros, então é conveniente expandir o determinante pela primeira coluna (regra de Laplace). Assim só o elemento (1,1) contribui:
Identificar os autovalores e suas multiplicidades algébricas.
As raízes de p(\lambda)=(1-\lambda)^2(3-\lambda) são \lambda=1 (raiz dupla, multiplicidade algébrica 2) e \lambda=3 (multiplicidade algébrica 1).
Então os autovalores são \lambda=1 e \lambda=3.
Passo 5
Explicar o que é o autoespaço e como encontrá-lo.
Para um autovalor \lambda, o autoespaço associado é \ker(A-\lambda I)=\{v\in\mathbb{R}^3:\\ (A-\lambda I)v=0\}.
Para encontrá-lo resolvemos o sistema linear homogêneo (A-\lambda I)v=0 (fazendo eliminação de Gauss ou resolvendo as equações resultantes). Vamos fazer isso para cada \lambda.
Escrevendo o sistema (A-I)(x_1,x_2,x_3)^T=0 em equações:
Primeira equação: -x_2+2x_3=0.
Segunda equação: 0=0 (não dá informação).
Terceira equação: -2x_2+2x_3=0.
Simplifique as duas equações úteis:
Da primeira: x_2=2x_3.
Da terceira: dividindo por -2: x_2=x_3.
Juntando as duas igualdades x_2=2x_3 e x_2=x_3 obtemos x_3=0, e então x_2=0.
Não há equação envolvendo x_1, então x_1 é livre (podemos chamá-lo de parâmetro t\in\mathbb{R}).
Assim os vetores próprios associados a \lambda=1 têm a forma (x_1,x_2,x_3)=(t,0,0)=t(1,0,0).
Logo o autoespaço é \ker(A-I)=\text{span}\{(1,0,0)\}, que tem dimensão 1.
Observação importante (útil na prova): a multiplicidade geométrica de \lambda=1 (dimensão do autoespaço) é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2. Isso indica que a matriz não é diagonalizável.]