Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 1 & 4 & 1\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado será o cálculo do polinômio característico \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) e, em seguida, a solução dos sistemas (A-\lambda I)x=0.

Passo 2

Vamos montar e calcular o determinante de A-\lambda I:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 & 1\\\\ 1 & 4-\lambda & 1\\\\ 1 & 2 & 3-\lambda \end{pmatrix},
\chi(\lambda) = \det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 & 1\\\\ 1 & 4-\lambda & 1\\\\ 1 & 2 & 3-\lambda \end{vmatrix}.
Fazendo a expansão, chega-se a
\chi(\lambda) = -\lambda^3 + 10\lambda^2 - 28\lambda + 24 \quad\Longrightarrow\quad \chi(\lambda)=\lambda^3 -10\lambda^2 +28\lambda -24.

Passo 3

Procuramos raízes inteiras de \chi(\lambda)=0. Testando \lambda=2:
2^3 -10\cdot2^2 +28\cdot2 -24 = 8 -40 +56 -24 = 0.
Logo \lambda=2 é raiz. Fazendo divisão de \lambda^3 -10\lambda^2 +28\lambda -24 por \lambda-2, obtemos
(\lambda-2)(\lambda^2 -8\lambda +12)=0,
e \lambda^2 -8\lambda +12=0 \lambda=2 ou \lambda=6. Concluímos:
\lambda_1 = 6\quad(\text{multiplicidade }1), \qquad \lambda_2 = 2\quad(\text{multiplicidade }2).

Passo 4

Para \lambda=6\), resolvemos \((A-6I)x=0\): \[A-6I = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad \begin{cases} -3x +2y +z = 0,\\\ x -2y +z = 0,\\\ x +2y -3z = 0. \end{cases}
Dessas equações segue (x=y=z]. Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=2, resolvemos (A-2I)x=0:
A-2I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad x +2y +z = 0.
Há duas dimensões livres. Tomando y=1,z=0 e y=0,z=1, obtemos vetores geradores do espaço próprio:
v_2 = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

\lambda = 6, autovetor \displaystyle \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}. \lambda = 2, autovetores gerados por \displaystyle \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \displaystyle \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados