Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolver a equação característica \det(A - \lambda I)=0 para encontrar os autovalores \lambda e, em seguida, resolver (A - \lambda I)v=0 para cada \lambda e obter o autovetor v.

Passo 2

Vamos montar o determinante
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 & 0 \\\\ -1 & 2-\lambda & -1 \\\\ 0 & -1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 \\\\ -1 & 1-\lambda\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}-1 & -1 \\\\ 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando cada parte:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 \\\\ -1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(1-\lambda)-(-1)(-1) =\lambda^2 -3\lambda +1,
\det\begin{pmatrix}-1 & -1 \\\\ 0 & 1-\lambda\end{pmatrix} =-1\cdot(1-\lambda)-0=-(1-\lambda).
Logo
\det(A - \lambda I) =(1-\lambda)(\lambda^2 -3\lambda +1)+\bigl(1-\lambda\bigr) =-\lambda(\lambda^2-4\lambda+3) =-\lambda(\lambda-1)(\lambda-3).
Assim, os autovalores são
\lambda_1 = 0,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = 3.

Passo 4

Para \lambda_1=0 resolvemos A\,v=0, isto é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As equações são x - y = 0,\;-x+2y - z=0,\;-y+z=0.
Dessa forma x=y e z=y, então podemos escolher o autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=1 resolvemos (A-I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\\\ -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Das equações vem y=0 e -x - z=0, logo z=-x.
Um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_3=3 resolvemos (A-3I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 \\\\ -1 & -1 & -1 \\\\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessa vez y=-2x e z=x.
Um autovetor correspondente é
v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda_1=0,\quad v_1=(1,1,1)^\mathsf{T};
\lambda_2=1,\quad v_2=(1,0,-1)^\mathsf{T};
\lambda_3=3,\quad v_3=(1,-2,1)^\mathsf{T}.

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